Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74377 / 78295
↖ ↑ ↗
← S 33.043205°
E 24.282532°		 ← 256.03 m → S 33.043205°
E 24.285279°		 →
↑
255.99 m
↓
↑
255.99 m
↓
S 33.045508°
E 24.282532°		 ← 256.02 m →
65 538 m²		 S 33.045508°
E 24.285279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567455291748047 y=0.597347259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567455291748047 × 217)
    floor (0.567455291748047 × 131072)
    floor (74377.5)     		tx = 74377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597347259521484 × 217)
    floor (0.597347259521484 × 131072)
    floor (78295.5)     		ty = 78295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74377 / 78295 ti = "17/74377/78295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74377/78295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74377 ÷ 217
    74377 ÷ 131072     		x = 0.567451477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78295 ÷ 217
    78295 ÷ 131072     		y = 0.597343444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567451477050781 × 2 - 1) × π
    0.134902954101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42381013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597343444824219 × 2 - 1) × π
    -0.194686889648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.611626902252296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42381013} λ = 0.42381013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611626902252296))-π/2
    2×atan(0.542467609005532)-π/2
    2×0.497041797744188-π/2
    0.994083595488375-1.57079632675     		φ = -0.57671273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42381013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.282532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57671273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.043205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74377 KachelY 78295 0.42381013 -0.57671273 24.282532 -33.043205
    Oben rechts KachelX + 1 74378 KachelY 78295 0.42385807 -0.57671273 24.285279 -33.043205
    Unten links KachelX 74377 KachelY + 1 78296 0.42381013 -0.57675291 24.282532 -33.045508
    Unten rechts KachelX + 1 74378 KachelY + 1 78296 0.42385807 -0.57675291 24.285279 -33.045508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57671273--0.57675291) × R
    4.01799999999453e-05 × 6371000     		dl = 255.986779999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57671273--0.57675291) × R
    4.01799999999453e-05 × 6371000     		dr = 255.986779999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42381013-0.42385807) × cos(-0.57671273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.838259629853462 × 6371000     		do = 256.026067759952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42381013-0.42385807) × cos(-0.57675291) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83823772017589 × 6371000     		du = 256.019375980466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57671273)-sin(-0.57675291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838259629853462-0.83823772017589)×R²
    abs(0.42385807-0.42381013)×2.19096775715411e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19096775715411e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19096775715411e-05×40589641000000     		ar = 65538.4321871288m²