Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74376 / 78296
↖ ↑ ↗
← S 33.045508°
E 24.279785°		 ← 256.02 m → S 33.045508°
E 24.282532°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
S 33.047810°
E 24.279785°		 ← 256.01 m →
65 553 m²		 S 33.047810°
E 24.282532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567447662353516 y=0.597354888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567447662353516 × 217)
    floor (0.567447662353516 × 131072)
    floor (74376.5)     		tx = 74376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597354888916016 × 217)
    floor (0.597354888916016 × 131072)
    floor (78296.5)     		ty = 78296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74376 / 78296 ti = "17/74376/78296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74376/78296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74376 ÷ 217
    74376 ÷ 131072     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78296 ÷ 217
    78296 ÷ 131072     		y = 0.59735107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.1947021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.611674839151917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611674839151917))-π/2
    2×atan(0.542441605413482)-π/2
    2×0.497021706222928-π/2
    0.994043412445855-1.57079632675     		φ = -0.57675291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57675291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.045508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74376 KachelY 78296 0.42376219 -0.57675291 24.279785 -33.045508
    Oben rechts KachelX + 1 74377 KachelY 78296 0.42381013 -0.57675291 24.282532 -33.045508
    Unten links KachelX 74376 KachelY + 1 78297 0.42376219 -0.57679310 24.279785 -33.047810
    Unten rechts KachelX + 1 74377 KachelY + 1 78297 0.42381013 -0.57679310 24.282532 -33.047810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57675291--0.57679310) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57675291--0.57679310) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42381013) × cos(-0.57675291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83823772017589 × 6371000     		do = 256.019375980763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42381013) × cos(-0.57679310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838215803691654 × 6371000     		du = 256.012682122347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57675291)-sin(-0.57679310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83823772017589-0.838215803691654)×R²
    abs(0.42381013-0.42376219)×2.19164842364394e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19164842364394e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19164842364394e-05×40589641000000     		ar = 65553.0296953238m²