Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74376 / 77432
↖ ↑ ↗
← S 31.034108°
E 24.279785°		 ← 261.71 m → S 31.034108°
E 24.282532°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
S 31.036462°
E 24.279785°		 ← 261.70 m →
68 493 m²		 S 31.036462°
E 24.282532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567447662353516 y=0.590763092041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567447662353516 × 217)
    floor (0.567447662353516 × 131072)
    floor (74376.5)     		tx = 74376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590763092041016 × 217)
    floor (0.590763092041016 × 131072)
    floor (77432.5)     		ty = 77432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74376 / 77432 ti = "17/74376/77432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74376/77432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74376 ÷ 217
    74376 ÷ 131072     		x = 0.56744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77432 ÷ 217
    77432 ÷ 131072     		y = 0.59075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56744384765625 × 2 - 1) × π
    0.1348876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42376219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.1815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.570257357880188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42376219} λ = 0.42376219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570257357880188))-π/2
    2×atan(0.56537991499808)-π/2
    2×0.514574477884824-π/2
    1.02914895576965-1.57079632675     		φ = -0.54164737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42376219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.279785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54164737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.034108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74376 KachelY 77432 0.42376219 -0.54164737 24.279785 -31.034108
    Oben rechts KachelX + 1 74377 KachelY 77432 0.42381013 -0.54164737 24.282532 -31.034108
    Unten links KachelX 74376 KachelY + 1 77433 0.42376219 -0.54168845 24.279785 -31.036462
    Unten rechts KachelX + 1 74377 KachelY + 1 77433 0.42381013 -0.54168845 24.282532 -31.036462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54164737--0.54168845) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dl = 261.72068000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54164737--0.54168845) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dr = 261.72068000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42376219-0.42381013) × cos(-0.54164737) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856860545701725 × 6371000     		do = 261.707266247885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42376219-0.42381013) × cos(-0.54168845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856839366256332 × 6371000     		du = 261.700797500103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54164737)-sin(-0.54168845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856860545701725-0.856839366256332)×R²
    abs(0.42381013-0.42376219)×2.11794453931491e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11794453931491e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11794453931491e-05×40589641000000     		ar = 68493.3571904214m²