Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74375 / 53119
↖ ↑ ↗
← N 32.252297°
E 24.277039°		 ← 258.25 m → N 32.252297°
E 24.279785°		 →
↑
258.28 m
↓
↑
258.28 m
↓
N 32.249975°
E 24.277039°		 ← 258.25 m →
66 701 m²		 N 32.249975°
E 24.279785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567440032958984 y=0.405269622802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567440032958984 × 217)
    floor (0.567440032958984 × 131072)
    floor (74375.5)     		tx = 74375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405269622802734 × 217)
    floor (0.405269622802734 × 131072)
    floor (53119.5)     		ty = 53119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74375 / 53119 ti = "17/74375/53119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74375/53119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74375 ÷ 217
    74375 ÷ 131072     		x = 0.567436218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53119 ÷ 217
    53119 ÷ 131072     		y = 0.405265808105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567436218261719 × 2 - 1) × π
    0.134872436523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42371426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405265808105469 × 2 - 1) × π
    0.189468383789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.595232482582237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42371426} λ = 0.42371426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595232482582237))-π/2
    2×atan(1.8134524920752)-π/2
    2×1.06685255289098-π/2
    2.13370510578196-1.57079632675     		φ = 0.56290878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42371426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.277039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56290878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.252297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74375 KachelY 53119 0.42371426 0.56290878 24.277039 32.252297
    Oben rechts KachelX + 1 74376 KachelY 53119 0.42376219 0.56290878 24.279785 32.252297
    Unten links KachelX 74375 KachelY + 1 53120 0.42371426 0.56286824 24.277039 32.249975
    Unten rechts KachelX + 1 74376 KachelY + 1 53120 0.42376219 0.56286824 24.279785 32.249975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56290878-0.56286824) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dl = 258.280339999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56290878-0.56286824) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dr = 258.280339999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42371426-0.42376219) × cos(0.56290878) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.8457064250928 × 6371000     		do = 258.246630750239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42371426-0.42376219) × cos(0.56286824) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.845728058505028 × 6371000     		du = 258.253236772913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56290878)-sin(0.56286824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8457064250928-0.845728058505028)×R²
    abs(0.42376219-0.42371426)×2.16334122278283e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.16334122278283e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.16334122278283e-05×40589641000000     		ar = 66700.8807060883m²