Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74374 / 77434
↖ ↑ ↗
← S 31.038815°
E 24.274292°		 ← 261.69 m → S 31.038815°
E 24.277039°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
S 31.041168°
E 24.274292°		 ← 261.69 m →
68 473 m²		 S 31.041168°
E 24.277039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567432403564453 y=0.590778350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567432403564453 × 217)
    floor (0.567432403564453 × 131072)
    floor (74374.5)     		tx = 74374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590778350830078 × 217)
    floor (0.590778350830078 × 131072)
    floor (77434.5)     		ty = 77434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74374 / 77434 ti = "17/74374/77434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74374/77434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74374 ÷ 217
    74374 ÷ 131072     		x = 0.567428588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77434 ÷ 217
    77434 ÷ 131072     		y = 0.590774536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567428588867188 × 2 - 1) × π
    0.134857177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42366632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590774536132812 × 2 - 1) × π
    -0.181549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.570353231679428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42366632} λ = 0.42366632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570353231679428))-π/2
    2×atan(0.565325712475957)-π/2
    2×0.514533403662036-π/2
    1.02906680732407-1.57079632675     		φ = -0.54172952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42366632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.274292°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54172952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.038815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74374 KachelY 77434 0.42366632 -0.54172952 24.274292 -31.038815
    Oben rechts KachelX + 1 74375 KachelY 77434 0.42371426 -0.54172952 24.277039 -31.038815
    Unten links KachelX 74374 KachelY + 1 77435 0.42366632 -0.54177059 24.274292 -31.041168
    Unten rechts KachelX + 1 74375 KachelY + 1 77435 0.42371426 -0.54177059 24.277039 -31.041168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54172952--0.54177059) × R
    4.10700000000874e-05 × 6371000     		dl = 261.656970000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54172952--0.54177059) × R
    4.10700000000874e-05 × 6371000     		dr = 261.656970000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42366632-0.42371426) × cos(-0.54172952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856818190521152 × 6371000     		do = 261.694329885515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42366632-0.42371426) × cos(-0.54177059) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856797013340738 × 6371000     		du = 261.687861829516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54172952)-sin(-0.54177059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856818190521152-0.856797013340738)×R²
    abs(0.42371426-0.42366632)×2.11771804137229e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11771804137229e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11771804137229e-05×40589641000000     		ar = 68473.2992278064m²