Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74373 / 53129
↖ ↑ ↗
← N 32.229066°
E 24.271545°		 ← 258.37 m → N 32.229066°
E 24.274292°		 →
↑
258.34 m
↓
↑
258.34 m
↓
N 32.226743°
E 24.271545°		 ← 258.37 m →
66 748 m²		 N 32.226743°
E 24.274292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567424774169922 y=0.405345916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567424774169922 × 217)
    floor (0.567424774169922 × 131072)
    floor (74373.5)     		tx = 74373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405345916748047 × 217)
    floor (0.405345916748047 × 131072)
    floor (53129.5)     		ty = 53129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74373 / 53129 ti = "17/74373/53129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74373/53129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74373 ÷ 217
    74373 ÷ 131072     		x = 0.567420959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53129 ÷ 217
    53129 ÷ 131072     		y = 0.405342102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567420959472656 × 2 - 1) × π
    0.134841918945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42361838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405342102050781 × 2 - 1) × π
    0.189315795898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.594753113586037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42361838} λ = 0.42361838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594753113586037))-π/2
    2×atan(1.81258338750195)-π/2
    2×1.06664982424701-π/2
    2.13329964849401-1.57079632675     		φ = 0.56250332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42361838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.271545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56250332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.229066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74373 KachelY 53129 0.42361838 0.56250332 24.271545 32.229066
    Oben rechts KachelX + 1 74374 KachelY 53129 0.42366632 0.56250332 24.274292 32.229066
    Unten links KachelX 74373 KachelY + 1 53130 0.42361838 0.56246277 24.271545 32.226743
    Unten rechts KachelX + 1 74374 KachelY + 1 53130 0.42366632 0.56246277 24.274292 32.226743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56250332-0.56246277) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dl = 258.344050000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56250332-0.56246277) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dr = 258.344050000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42361838-0.42366632) × cos(0.56250332) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84592272866153 × 6371000     		do = 258.366575384097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42361838-0.42366632) × cos(0.56246277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845944353503343 × 6371000     		du = 258.373180167411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56250332)-sin(0.56246277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84592272866153-0.845944353503343)×R²
    abs(0.42366632-0.42361838)×2.1624841812895e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1624841812895e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1624841812895e-05×40589641000000     		ar = 66748.3206315881m²