Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74373 / 53127
↖ ↑ ↗
← N 32.233713°
E 24.271545°		 ← 258.35 m → N 32.233713°
E 24.274292°		 →
↑
258.34 m
↓
↑
258.34 m
↓
N 32.231390°
E 24.271545°		 ← 258.36 m →
66 745 m²		 N 32.231390°
E 24.274292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567424774169922 y=0.405330657958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567424774169922 × 217)
    floor (0.567424774169922 × 131072)
    floor (74373.5)     		tx = 74373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405330657958984 × 217)
    floor (0.405330657958984 × 131072)
    floor (53127.5)     		ty = 53127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74373 / 53127 ti = "17/74373/53127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74373/53127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74373 ÷ 217
    74373 ÷ 131072     		x = 0.567420959472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53127 ÷ 217
    53127 ÷ 131072     		y = 0.405326843261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567420959472656 × 2 - 1) × π
    0.134841918945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42361838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405326843261719 × 2 - 1) × π
    0.189346313476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.594848987385277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42361838} λ = 0.42361838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594848987385277))-π/2
    2×atan(1.81275717508846)-π/2
    2×1.06669037412318-π/2
    2.13338074824636-1.57079632675     		φ = 0.56258442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42361838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.271545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56258442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.233713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74373 KachelY 53127 0.42361838 0.56258442 24.271545 32.233713
    Oben rechts KachelX + 1 74374 KachelY 53127 0.42366632 0.56258442 24.274292 32.233713
    Unten links KachelX 74373 KachelY + 1 53128 0.42361838 0.56254387 24.271545 32.231390
    Unten rechts KachelX + 1 74374 KachelY + 1 53128 0.42366632 0.56254387 24.274292 32.231390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56258442-0.56254387) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dl = 258.344050000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56258442-0.56254387) × R
    4.05500000000281e-05 × 6371000     		dr = 258.344050000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42361838-0.42366632) × cos(0.56258442) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845879474805081 × 6371000     		do = 258.353364542984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42361838-0.42366632) × cos(0.56254387) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.845901102428764 × 6371000     		du = 258.359970175952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56258442)-sin(0.56254387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845879474805081-0.845901102428764)×R²
    abs(0.42366632-0.42361838)×2.16276236829627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16276236829627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16276236829627e-05×40589641000000     		ar = 66744.9077991364m²