Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74372 / 53328
↖ ↑ ↗
← N 31.765538°
E 24.268799°		 ← 259.62 m → N 31.765538°
E 24.271545°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
N 31.763202°
E 24.268799°		 ← 259.63 m →
67 420 m²		 N 31.763202°
E 24.271545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567417144775391 y=0.406864166259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567417144775391 × 217)
    floor (0.567417144775391 × 131072)
    floor (74372.5)     		tx = 74372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406864166259766 × 217)
    floor (0.406864166259766 × 131072)
    floor (53328.5)     		ty = 53328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74372 / 53328 ti = "17/74372/53328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74372/53328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74372 ÷ 217
    74372 ÷ 131072     		x = 0.567413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53328 ÷ 217
    53328 ÷ 131072     		y = 0.4068603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567413330078125 × 2 - 1) × π
    0.13482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42357045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4068603515625 × 2 - 1) × π
    0.186279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.585213670561646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42357045} λ = 0.42357045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585213670561646))-π/2
    2×atan(1.79537456335012)-π/2
    2×1.0626047716208-π/2
    2.12520954324161-1.57079632675     		φ = 0.55441322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42357045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.268799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55441322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.765538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74372 KachelY 53328 0.42357045 0.55441322 24.268799 31.765538
    Oben rechts KachelX + 1 74373 KachelY 53328 0.42361838 0.55441322 24.271545 31.765538
    Unten links KachelX 74372 KachelY + 1 53329 0.42357045 0.55437246 24.268799 31.763202
    Unten rechts KachelX + 1 74373 KachelY + 1 53329 0.42361838 0.55437246 24.271545 31.763202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55441322-0.55437246) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dl = 259.681960000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55441322-0.55437246) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dr = 259.681960000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42357045-0.42361838) × cos(0.55441322) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.850209493726849 × 6371000     		do = 259.621696929862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42357045-0.42361838) × cos(0.55437246) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.850230950898604 × 6371000     		du = 259.628249135387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55441322)-sin(0.55437246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850209493726849-0.850230950898604)×R²
    abs(0.42361838-0.42357045)×2.14571717557233e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14571717557233e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14571717557233e-05×40589641000000     		ar = 67419.921871487m²