Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74372 / 53099
↖ ↑ ↗
← N 32.298741°
E 24.268799°		 ← 258.11 m → N 32.298741°
E 24.271545°		 →
↑
258.15 m
↓
↑
258.15 m
↓
N 32.296420°
E 24.268799°		 ← 258.12 m →
66 634 m²		 N 32.296420°
E 24.271545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567417144775391 y=0.405117034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567417144775391 × 217)
    floor (0.567417144775391 × 131072)
    floor (74372.5)     		tx = 74372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405117034912109 × 217)
    floor (0.405117034912109 × 131072)
    floor (53099.5)     		ty = 53099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74372 / 53099 ti = "17/74372/53099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74372/53099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74372 ÷ 217
    74372 ÷ 131072     		x = 0.567413330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53099 ÷ 217
    53099 ÷ 131072     		y = 0.405113220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567413330078125 × 2 - 1) × π
    0.13482666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42357045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405113220214844 × 2 - 1) × π
    0.189773559570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.596191220574638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42357045} λ = 0.42357045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.596191220574638))-π/2
    2×atan(1.81519195158649)-π/2
    2×1.06725785459602-π/2
    2.13451570919203-1.57079632675     		φ = 0.56371938
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42357045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.268799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56371938 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.298741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74372 KachelY 53099 0.42357045 0.56371938 24.268799 32.298741
    Oben rechts KachelX + 1 74373 KachelY 53099 0.42361838 0.56371938 24.271545 32.298741
    Unten links KachelX 74372 KachelY + 1 53100 0.42357045 0.56367886 24.268799 32.296420
    Unten rechts KachelX + 1 74373 KachelY + 1 53100 0.42361838 0.56367886 24.271545 32.296420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56371938-0.56367886) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dl = 258.152919999926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56371938-0.56367886) × R
    4.05199999999883e-05 × 6371000     		dr = 258.152919999926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42357045-0.42361838) × cos(0.56371938) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.845273571880925 × 6371000     		do = 258.114453815068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42357045-0.42361838) × cos(0.56367886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.845295222391779 × 6371000     		du = 258.121065059013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56371938)-sin(0.56367886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845273571880925-0.845295222391779)×R²
    abs(0.42361838-0.42357045)×2.16505108536769e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16505108536769e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16505108536769e-05×40589641000000     		ar = 66633.8533115939m²