Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74371 / 77431
↖ ↑ ↗
← S 31.031755°
E 24.266052°		 ← 261.71 m → S 31.031755°
E 24.268799°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
S 31.034108°
E 24.266052°		 ← 261.71 m →
68 478 m²		 S 31.034108°
E 24.268799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567409515380859 y=0.590755462646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567409515380859 × 217)
    floor (0.567409515380859 × 131072)
    floor (74371.5)     		tx = 74371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590755462646484 × 217)
    floor (0.590755462646484 × 131072)
    floor (77431.5)     		ty = 77431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74371 / 77431 ti = "17/74371/77431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74371/77431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74371 ÷ 217
    74371 ÷ 131072     		x = 0.567405700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77431 ÷ 217
    77431 ÷ 131072     		y = 0.590751647949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567405700683594 × 2 - 1) × π
    0.134811401367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42352251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590751647949219 × 2 - 1) × π
    -0.181503295898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.570209420980568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42352251} λ = 0.42352251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570209420980568))-π/2
    2×atan(0.565407018207929)-π/2
    2×0.514595015757573-π/2
    1.02919003151515-1.57079632675     		φ = -0.54160630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42352251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.266052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54160630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.031755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74371 KachelY 77431 0.42352251 -0.54160630 24.266052 -31.031755
    Oben rechts KachelX + 1 74372 KachelY 77431 0.42357045 -0.54160630 24.268799 -31.031755
    Unten links KachelX 74371 KachelY + 1 77432 0.42352251 -0.54164737 24.266052 -31.034108
    Unten rechts KachelX + 1 74372 KachelY + 1 77432 0.42357045 -0.54164737 24.268799 -31.034108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54160630--0.54164737) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54160630--0.54164737) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42352251-0.42357045) × cos(-0.54160630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856881718545979 × 6371000     		do = 261.713732979206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42352251-0.42357045) × cos(-0.54164737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856860545701725 × 6371000     		du = 261.707266247582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54160630)-sin(-0.54164737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856881718545979-0.856860545701725)×R²
    abs(0.42357045-0.42352251)×2.11728442534032e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11728442534032e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11728442534032e-05×40589641000000     		ar = 68478.3763556914m²