Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74370 / 53331
↖ ↑ ↗
← N 31.758531°
E 24.263306°		 ← 259.70 m → N 31.758531°
E 24.266052°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
N 31.756196°
E 24.263306°		 ← 259.70 m →
67 439 m²		 N 31.756196°
E 24.266052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567401885986328 y=0.406887054443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567401885986328 × 217)
    floor (0.567401885986328 × 131072)
    floor (74370.5)     		tx = 74370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406887054443359 × 217)
    floor (0.406887054443359 × 131072)
    floor (53331.5)     		ty = 53331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74370 / 53331 ti = "17/74370/53331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74370/53331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74370 ÷ 217
    74370 ÷ 131072     		x = 0.567398071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53331 ÷ 217
    53331 ÷ 131072     		y = 0.406883239746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567398071289062 × 2 - 1) × π
    0.134796142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42347457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406883239746094 × 2 - 1) × π
    0.186233520507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.585069859862785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42347457} λ = 0.42347457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585069859862785))-π/2
    2×atan(1.7951163878441)-π/2
    2×1.06254363469583-π/2
    2.12508726939166-1.57079632675     		φ = 0.55429094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42347457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.263306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55429094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.758531°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74370 KachelY 53331 0.42347457 0.55429094 24.263306 31.758531
    Oben rechts KachelX + 1 74371 KachelY 53331 0.42352251 0.55429094 24.266052 31.758531
    Unten links KachelX 74370 KachelY + 1 53332 0.42347457 0.55425018 24.263306 31.756196
    Unten rechts KachelX + 1 74371 KachelY + 1 53332 0.42352251 0.55425018 24.266052 31.756196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55429094-0.55425018) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dl = 259.681959999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55429094-0.55425018) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dr = 259.681959999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42347457-0.42352251) × cos(0.55429094) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850273861004416 × 6371000     		do = 259.695523200061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42347457-0.42352251) × cos(0.55425018) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.850295313938401 × 6371000     		du = 259.702075478299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55429094)-sin(0.55425018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850273861004416-0.850295313938401)×R²
    abs(0.42352251-0.42347457)×2.14529339848113e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.14529339848113e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.14529339848113e-05×40589641000000     		ar = 67439.0932314258m²