Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7437 / 5366
↖ ↑ ↗
← N 76.211205°
W 98.294678°		 ← 291.15 m → N 76.211205°
W 98.283692°		 →
↑
291.22 m
↓
↑
291.22 m
↓
N 76.208586°
W 98.294678°		 ← 291.21 m →
84 797 m²		 N 76.208586°
W 98.283692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226974487304688 y=0.163772583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226974487304688 × 215)
    floor (0.226974487304688 × 32768)
    floor (7437.5)     		tx = 7437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163772583007812 × 215)
    floor (0.163772583007812 × 32768)
    floor (5366.5)     		ty = 5366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7437 / 5366 ti = "15/7437/5366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7437/5366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7437 ÷ 215
    7437 ÷ 32768     		x = 0.226959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5366 ÷ 215
    5366 ÷ 32768     		y = 0.16375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.54608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71556576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16375732421875 × 2 - 1) × π
    0.6724853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.11267504005511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71556576} λ = -1.71556576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11267504005511))-π/2
    2×atan(8.27033519832431)-π/2
    2×1.45046639098652-π/2
    2.90093278197305-1.57079632675     		φ = 1.33013646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71556576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.294678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33013646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.211205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7437 KachelY 5366 -1.71556576 1.33013646 -98.294678 76.211205
    Oben rechts KachelX + 1 7438 KachelY 5366 -1.71537402 1.33013646 -98.283692 76.211205
    Unten links KachelX 7437 KachelY + 1 5367 -1.71556576 1.33009075 -98.294678 76.208586
    Unten rechts KachelX + 1 7438 KachelY + 1 5367 -1.71537402 1.33009075 -98.283692 76.208586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33013646-1.33009075) × R
    4.57099999999766e-05 × 6371000     		dl = 291.218409999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33013646-1.33009075) × R
    4.57099999999766e-05 × 6371000     		dr = 291.218409999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71556576--1.71537402) × cos(1.33013646) × R
    0.000191739999999996 × 0.238343528306112 × 6371000     		do = 291.154624296038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71556576--1.71537402) × cos(1.33009075) × R
    0.000191739999999996 × 0.238387920736556 × 6371000     		du = 291.208853003229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33013646)-sin(1.33009075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238343528306112-0.238387920736556)×R²
    abs(-1.71537402--1.71556576)×4.43924304430188e-05×R²
    0.000191739999999996×4.43924304430188e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.43924304430188e-05×40589641000000     		ar = 84797.4829652328m²