Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7437 / 10609
↖ ↑ ↗
← S 46.815099°
W 16.589355°		 ← 1 672.03 m → S 46.815099°
W 16.567383°		 →
↑
1 671.81 m
↓
↑
1 671.81 m
↓
S 46.830134°
W 16.589355°		 ← 1 671.56 m →
2 794 926 m²		 S 46.830134°
W 16.567383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453948974609375 y=0.647552490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453948974609375 × 214)
    floor (0.453948974609375 × 16384)
    floor (7437.5)     		tx = 7437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647552490234375 × 214)
    floor (0.647552490234375 × 16384)
    floor (10609.5)     		ty = 10609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7437 / 10609 ti = "14/7437/10609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7437/10609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7437 ÷ 214
    7437 ÷ 16384     		x = 0.45391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10609 ÷ 214
    10609 ÷ 16384     		y = 0.64752197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45391845703125 × 2 - 1) × π
    -0.0921630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28953887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64752197265625 × 2 - 1) × π
    -0.2950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.926907891053406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28953887} λ = -0.28953887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.926907891053406))-π/2
    2×atan(0.395775601566145)-π/2
    2×0.37685935789726-π/2
    0.75371871579452-1.57079632675     		φ = -0.81707761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28953887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.589355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81707761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.815099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7437 KachelY 10609 -0.28953887 -0.81707761 -16.589355 -46.815099
    Oben rechts KachelX + 1 7438 KachelY 10609 -0.28915538 -0.81707761 -16.567383 -46.815099
    Unten links KachelX 7437 KachelY + 1 10610 -0.28953887 -0.81734002 -16.589355 -46.830134
    Unten rechts KachelX + 1 7438 KachelY + 1 10610 -0.28915538 -0.81734002 -16.567383 -46.830134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81707761--0.81734002) × R
    0.000262409999999935 × 6371000     		dl = 1671.81410999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81707761--0.81734002) × R
    0.000262409999999935 × 6371000     		dr = 1671.81410999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28953887--0.28915538) × cos(-0.81707761) × R
    0.000383489999999986 × 0.684354984301183 × 6371000     		do = 1672.02621925481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28953887--0.28915538) × cos(-0.81734002) × R
    0.000383489999999986 × 0.684163624753859 × 6371000     		du = 1671.55868677858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81707761)-sin(-0.81734002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684354984301183-0.684163624753859)×R²
    abs(-0.28915538--0.28953887)×0.000191359547324188×R²
    0.000383489999999986×0.000191359547324188×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191359547324188×40589641000000     		ar = 2794926.22798191m²