Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74369 / 55937
↖ ↑ ↗
← N 25.480472°
E 24.260559°		 ← 275.72 m → N 25.480472°
E 24.263306°		 →
↑
275.74 m
↓
↑
275.74 m
↓
N 25.477992°
E 24.260559°		 ← 275.72 m →
76 026 m²		 N 25.477992°
E 24.263306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567394256591797 y=0.426769256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567394256591797 × 217)
    floor (0.567394256591797 × 131072)
    floor (74369.5)     		tx = 74369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426769256591797 × 217)
    floor (0.426769256591797 × 131072)
    floor (55937.5)     		ty = 55937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74369 / 55937 ti = "17/74369/55937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74369/55937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74369 ÷ 217
    74369 ÷ 131072     		x = 0.567390441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55937 ÷ 217
    55937 ÷ 131072     		y = 0.426765441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567390441894531 × 2 - 1) × π
    0.134780883789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42342663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426765441894531 × 2 - 1) × π
    0.146469116210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.460146299452919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42342663} λ = 0.42342663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460146299452919))-π/2
    2×atan(1.58430575110508)-π/2
    2×1.00775722709631-π/2
    2.01551445419262-1.57079632675     		φ = 0.44471813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42342663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.260559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44471813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.480472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74369 KachelY 55937 0.42342663 0.44471813 24.260559 25.480472
    Oben rechts KachelX + 1 74370 KachelY 55937 0.42347457 0.44471813 24.263306 25.480472
    Unten links KachelX 74369 KachelY + 1 55938 0.42342663 0.44467485 24.260559 25.477992
    Unten rechts KachelX + 1 74370 KachelY + 1 55938 0.42347457 0.44467485 24.263306 25.477992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44471813-0.44467485) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dl = 275.736879999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44471813-0.44467485) × R
    4.32799999999789e-05 × 6371000     		dr = 275.736879999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.44471813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902731962700723 × 6371000     		do = 275.71757772934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.44467485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902750581060308 × 6371000     		du = 275.723264255594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44471813)-sin(0.44467485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902731962700723-0.902750581060308)×R²
    abs(0.42347457-0.42342663)×1.86183595850542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86183595850542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86183595850542e-05×40589641000000     		ar = 76026.2886485602m²