Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74369 / 54146
↖ ↑ ↗
← N 29.835879°
E 24.260559°		 ← 264.94 m → N 29.835879°
E 24.263306°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
N 29.833496°
E 24.260559°		 ← 264.95 m →
70 186 m²		 N 29.833496°
E 24.263306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567394256591797 y=0.413105010986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567394256591797 × 217)
    floor (0.567394256591797 × 131072)
    floor (74369.5)     		tx = 74369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413105010986328 × 217)
    floor (0.413105010986328 × 131072)
    floor (54146.5)     		ty = 54146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74369 / 54146 ti = "17/74369/54146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74369/54146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74369 ÷ 217
    74369 ÷ 131072     		x = 0.567390441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54146 ÷ 217
    54146 ÷ 131072     		y = 0.413101196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567390441894531 × 2 - 1) × π
    0.134780883789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42342663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413101196289062 × 2 - 1) × π
    0.173797607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.54600128667244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42342663} λ = 0.42342663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54600128667244))-π/2
    2×atan(1.72633607457813)-π/2
    2×1.04576532480715-π/2
    2.09153064961429-1.57079632675     		φ = 0.52073432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42342663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.260559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52073432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.835879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74369 KachelY 54146 0.42342663 0.52073432 24.260559 29.835879
    Oben rechts KachelX + 1 74370 KachelY 54146 0.42347457 0.52073432 24.263306 29.835879
    Unten links KachelX 74369 KachelY + 1 54147 0.42342663 0.52069274 24.260559 29.833496
    Unten rechts KachelX + 1 74370 KachelY + 1 54147 0.42347457 0.52069274 24.263306 29.833496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52073432-0.52069274) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52073432-0.52069274) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.52073432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867454076712357 × 6371000     		do = 264.942803295715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.52069274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867474762730186 × 6371000     		du = 264.949121338018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52073432)-sin(0.52069274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867454076712357-0.867474762730186)×R²
    abs(0.42347457-0.42342663)×2.0686017829008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0686017829008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0686017829008e-05×40589641000000     		ar = 70185.8227939735m²