Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74369 / 54142
↖ ↑ ↗
← N 29.845409°
E 24.260559°		 ← 264.92 m → N 29.845409°
E 24.263306°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
N 29.843026°
E 24.260559°		 ← 264.92 m →
70 179 m²		 N 29.843026°
E 24.263306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567394256591797 y=0.413074493408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567394256591797 × 217)
    floor (0.567394256591797 × 131072)
    floor (74369.5)     		tx = 74369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413074493408203 × 217)
    floor (0.413074493408203 × 131072)
    floor (54142.5)     		ty = 54142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74369 / 54142 ti = "17/74369/54142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74369/54142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74369 ÷ 217
    74369 ÷ 131072     		x = 0.567390441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54142 ÷ 217
    54142 ÷ 131072     		y = 0.413070678710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567390441894531 × 2 - 1) × π
    0.134780883789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42342663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413070678710938 × 2 - 1) × π
    0.173858642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.54619303427092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42342663} λ = 0.42342663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54619303427092))-π/2
    2×atan(1.72666712711285)-π/2
    2×1.04584848695783-π/2
    2.09169697391565-1.57079632675     		φ = 0.52090065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42342663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.260559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52090065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.845409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74369 KachelY 54142 0.42342663 0.52090065 24.260559 29.845409
    Oben rechts KachelX + 1 74370 KachelY 54142 0.42347457 0.52090065 24.263306 29.845409
    Unten links KachelX 74369 KachelY + 1 54143 0.42342663 0.52085907 24.260559 29.843026
    Unten rechts KachelX + 1 74370 KachelY + 1 54143 0.42347457 0.52085907 24.263306 29.843026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52090065-0.52085907) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52090065-0.52085907) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.52090065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867371312667401 × 6371000     		do = 264.917525026039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.52085907) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867392004684329 × 6371000     		du = 264.923844900621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52090065)-sin(0.52085907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867371312667401-0.867392004684329)×R²
    abs(0.42347457-0.42342663)×2.06920169280034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06920169280034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06920169280034e-05×40589641000000     		ar = 70179.1266667036m²