Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74369 / 53635
↖ ↑ ↗
← N 31.045875°
E 24.260559°		 ← 261.67 m → N 31.045875°
E 24.263306°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
N 31.043521°
E 24.260559°		 ← 261.68 m →
68 470 m²		 N 31.043521°
E 24.263306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567394256591797 y=0.409206390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567394256591797 × 217)
    floor (0.567394256591797 × 131072)
    floor (74369.5)     		tx = 74369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409206390380859 × 217)
    floor (0.409206390380859 × 131072)
    floor (53635.5)     		ty = 53635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74369 / 53635 ti = "17/74369/53635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74369/53635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74369 ÷ 217
    74369 ÷ 131072     		x = 0.567390441894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53635 ÷ 217
    53635 ÷ 131072     		y = 0.409202575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567390441894531 × 2 - 1) × π
    0.134780883789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.42342663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409202575683594 × 2 - 1) × π
    0.181594848632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.570497042378288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42342663} λ = 0.42342663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570497042378288))-π/2
    2×atan(1.76914617355681)-π/2
    2×1.05632453065994-π/2
    2.11264906131988-1.57079632675     		φ = 0.54185273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42342663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.260559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54185273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.045875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74369 KachelY 53635 0.42342663 0.54185273 24.260559 31.045875
    Oben rechts KachelX + 1 74370 KachelY 53635 0.42347457 0.54185273 24.263306 31.045875
    Unten links KachelX 74369 KachelY + 1 53636 0.42342663 0.54181166 24.260559 31.043521
    Unten rechts KachelX + 1 74370 KachelY + 1 53636 0.42347457 0.54181166 24.263306 31.043521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54185273-0.54181166) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54185273-0.54181166) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.54185273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856754654644353 × 6371000     		do = 261.674924393024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42342663-0.42347457) × cos(0.54181166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856775834715127 × 6371000     		du = 261.681393331814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54185273)-sin(0.54181166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856754654644353-0.856775834715127)×R²
    abs(0.42347457-0.42342663)×2.11800707738963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.11800707738963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.11800707738963e-05×40589641000000     		ar = 68469.9141725823m²