Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74368 / 53637
↖ ↑ ↗
← N 31.041168°
E 24.257813°		 ← 261.63 m → N 31.041168°
E 24.260559°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
N 31.038815°
E 24.257813°		 ← 261.64 m →
68 459 m²		 N 31.038815°
E 24.260559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567386627197266 y=0.409221649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567386627197266 × 217)
    floor (0.567386627197266 × 131072)
    floor (74368.5)     		tx = 74368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409221649169922 × 217)
    floor (0.409221649169922 × 131072)
    floor (53637.5)     		ty = 53637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74368 / 53637 ti = "17/74368/53637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74368/53637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74368 ÷ 217
    74368 ÷ 131072     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53637 ÷ 217
    53637 ÷ 131072     		y = 0.409217834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409217834472656 × 2 - 1) × π
    0.181564331054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.570401168579048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570401168579048))-π/2
    2×atan(1.76897656692228)-π/2
    2×1.05628345948286-π/2
    2.11256691896571-1.57079632675     		φ = 0.54177059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54177059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.041168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74368 KachelY 53637 0.42337870 0.54177059 24.257813 31.041168
    Oben rechts KachelX + 1 74369 KachelY 53637 0.42342663 0.54177059 24.260559 31.041168
    Unten links KachelX 74368 KachelY + 1 53638 0.42337870 0.54172952 24.257813 31.038815
    Unten rechts KachelX + 1 74369 KachelY + 1 53638 0.42342663 0.54172952 24.260559 31.038815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54177059-0.54172952) × R
    4.10700000000874e-05 × 6371000     		dl = 261.656970000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54177059-0.54172952) × R
    4.10700000000874e-05 × 6371000     		dr = 261.656970000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42342663) × cos(0.54177059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.856797013340738 × 6371000     		do = 261.633275291825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42342663) × cos(0.54172952) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.856818190521152 × 6371000     		du = 261.639741998626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54177059)-sin(0.54172952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856797013340738-0.856818190521152)×R²
    abs(0.42342663-0.42337870)×2.11771804137229e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11771804137229e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11771804137229e-05×40589641000000     		ar = 68459.0161032358m²