Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74368 / 53454
↖ ↑ ↗
← N 31.470839°
E 24.257813°		 ← 260.45 m → N 31.470839°
E 24.260559°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 31.468496°
E 24.257813°		 ← 260.45 m →
67 849 m²		 N 31.468496°
E 24.260559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567386627197266 y=0.407825469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567386627197266 × 217)
    floor (0.567386627197266 × 131072)
    floor (74368.5)     		tx = 74368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407825469970703 × 217)
    floor (0.407825469970703 × 131072)
    floor (53454.5)     		ty = 53454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74368 / 53454 ti = "17/74368/53454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74368/53454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74368 ÷ 217
    74368 ÷ 131072     		x = 0.5673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53454 ÷ 217
    53454 ÷ 131072     		y = 0.407821655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5673828125 × 2 - 1) × π
    0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407821655273438 × 2 - 1) × π
    0.184356689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.579173621209518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42337870} λ = 0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579173621209518))-π/2
    2×atan(1.78456309614849)-π/2
    2×1.06003304271495-π/2
    2.12006608542991-1.57079632675     		φ = 0.54926976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54926976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.470839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74368 KachelY 53454 0.42337870 0.54926976 24.257813 31.470839
    Oben rechts KachelX + 1 74369 KachelY 53454 0.42342663 0.54926976 24.260559 31.470839
    Unten links KachelX 74368 KachelY + 1 53455 0.42337870 0.54922887 24.257813 31.468496
    Unten rechts KachelX + 1 74369 KachelY + 1 53455 0.42342663 0.54922887 24.260559 31.468496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54926976-0.54922887) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dl = 260.510190000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54926976-0.54922887) × R
    4.08900000000711e-05 × 6371000     		dr = 260.510190000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42337870-0.42342663) × cos(0.54926976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.852905981843102 × 6371000     		do = 260.445102014912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42337870-0.42342663) × cos(0.54922887) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.852927328349197 × 6371000     		du = 260.451620427347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54926976)-sin(0.54922887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852905981843102-0.852927328349197)×R²
    abs(0.42342663-0.42337870)×2.13465060951989e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13465060951989e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13465060951989e-05×40589641000000     		ar = 67849.4520763974m²