Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74367 / 78466
↖ ↑ ↗
← S 33.436025°
E 24.255066°		 ← 254.88 m → S 33.436025°
E 24.257813°		 →
↑
254.90 m
↓
↑
254.90 m
↓
S 33.438318°
E 24.255066°		 ← 254.87 m →
64 969 m²		 S 33.438318°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567378997802734 y=0.598651885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567378997802734 × 217)
    floor (0.567378997802734 × 131072)
    floor (74367.5)     		tx = 74367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598651885986328 × 217)
    floor (0.598651885986328 × 131072)
    floor (78466.5)     		ty = 78466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74367 / 78466 ti = "17/74367/78466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74367/78466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74367 ÷ 217
    74367 ÷ 131072     		x = 0.567375183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78466 ÷ 217
    78466 ÷ 131072     		y = 0.598648071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567375183105469 × 2 - 1) × π
    0.134750366210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42333076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.197296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.619824112087326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42333076} λ = 0.42333076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619824112087326))-π/2
    2×atan(0.5380390638405)-π/2
    2×0.493613796433396-π/2
    0.987227592866792-1.57079632675     		φ = -0.58356873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42333076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.255066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58356873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.436025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74367 KachelY 78466 0.42333076 -0.58356873 24.255066 -33.436025
    Oben rechts KachelX + 1 74368 KachelY 78466 0.42337870 -0.58356873 24.257813 -33.436025
    Unten links KachelX 74367 KachelY + 1 78467 0.42333076 -0.58360874 24.255066 -33.438318
    Unten rechts KachelX + 1 74368 KachelY + 1 78467 0.42337870 -0.58360874 24.257813 -33.438318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58356873--0.58360874) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dl = 254.903709999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58356873--0.58360874) × R
    4.00099999999792e-05 × 6371000     		dr = 254.903709999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(-0.58356873) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83450157808359 × 6371000     		do = 254.878262017476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(-0.58360874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.834479531683604 × 6371000     		du = 254.871528479446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58356873)-sin(-0.58360874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83450157808359-0.834479531683604)×R²
    abs(0.42337870-0.42333076)×2.20463999862641e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20463999862641e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20463999862641e-05×40589641000000     		ar = 64968.5563932323m²