Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74367 / 77165
↖ ↑ ↗
← S 30.403675°
E 24.255066°		 ← 263.42 m → S 30.403675°
E 24.257813°		 →
↑
263.38 m
↓
↑
263.38 m
↓
S 30.406044°
E 24.255066°		 ← 263.42 m →
69 379 m²		 S 30.406044°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567378997802734 y=0.588726043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567378997802734 × 217)
    floor (0.567378997802734 × 131072)
    floor (74367.5)     		tx = 74367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588726043701172 × 217)
    floor (0.588726043701172 × 131072)
    floor (77165.5)     		ty = 77165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74367 / 77165 ti = "17/74367/77165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74367/77165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74367 ÷ 217
    74367 ÷ 131072     		x = 0.567375183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77165 ÷ 217
    77165 ÷ 131072     		y = 0.588722229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567375183105469 × 2 - 1) × π
    0.134750366210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42333076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588722229003906 × 2 - 1) × π
    -0.177444458007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.557458205681633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42333076} λ = 0.42333076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557458205681633))-π/2
    2×atan(0.572662806576724)-π/2
    2×0.520076042982-π/2
    1.040152085964-1.57079632675     		φ = -0.53064424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42333076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.255066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53064424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.403675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74367 KachelY 77165 0.42333076 -0.53064424 24.255066 -30.403675
    Oben rechts KachelX + 1 74368 KachelY 77165 0.42337870 -0.53064424 24.257813 -30.403675
    Unten links KachelX 74367 KachelY + 1 77166 0.42333076 -0.53068558 24.255066 -30.406044
    Unten rechts KachelX + 1 74368 KachelY + 1 77166 0.42337870 -0.53068558 24.257813 -30.406044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53064424--0.53068558) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dl = 263.377140000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53064424--0.53068558) × R
    4.13400000000008e-05 × 6371000     		dr = 263.377140000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(-0.53064424) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862481206685601 × 6371000     		do = 263.423960788175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(-0.53068558) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.862460284225594 × 6371000     		du = 263.417570530345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53064424)-sin(-0.53068558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862481206685601-0.862460284225594)×R²
    abs(0.42337870-0.42333076)×2.09224600077329e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09224600077329e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09224600077329e-05×40589641000000     		ar = 69379.007885714m²