Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74367 / 54145
↖ ↑ ↗
← N 29.838262°
E 24.255066°		 ← 264.94 m → N 29.838262°
E 24.257813°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
N 29.835879°
E 24.255066°		 ← 264.94 m →
70 201 m²		 N 29.835879°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567378997802734 y=0.413097381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567378997802734 × 217)
    floor (0.567378997802734 × 131072)
    floor (74367.5)     		tx = 74367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413097381591797 × 217)
    floor (0.413097381591797 × 131072)
    floor (54145.5)     		ty = 54145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74367 / 54145 ti = "17/74367/54145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74367/54145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74367 ÷ 217
    74367 ÷ 131072     		x = 0.567375183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54145 ÷ 217
    54145 ÷ 131072     		y = 0.413093566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567375183105469 × 2 - 1) × π
    0.134750366210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42333076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413093566894531 × 2 - 1) × π
    0.173812866210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.54604922357206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42333076} λ = 0.42333076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54604922357206))-π/2
    2×atan(1.72641883176079)-π/2
    2×1.04578611608868-π/2
    2.09157223217735-1.57079632675     		φ = 0.52077591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42333076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.255066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52077591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.838262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74367 KachelY 54145 0.42333076 0.52077591 24.255066 29.838262
    Oben rechts KachelX + 1 74368 KachelY 54145 0.42337870 0.52077591 24.257813 29.838262
    Unten links KachelX 74367 KachelY + 1 54146 0.42333076 0.52073432 24.255066 29.835879
    Unten rechts KachelX + 1 74368 KachelY + 1 54146 0.42337870 0.52073432 24.257813 29.835879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52077591-0.52073432) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52077591-0.52073432) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(0.52077591) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867433384219257 × 6371000     		do = 264.936483276004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(0.52073432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867454076712357 × 6371000     		du = 264.942803296022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52077591)-sin(0.52073432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867433384219257-0.867454076712357)×R²
    abs(0.42337870-0.42333076)×2.06924931006602e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06924931006602e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06924931006602e-05×40589641000000     		ar = 70201.0281482533m²