Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74367 / 53631
↖ ↑ ↗
← N 31.055287°
E 24.255066°		 ← 261.65 m → N 31.055287°
E 24.257813°		 →
↑
261.66 m
↓
↑
261.66 m
↓
N 31.052934°
E 24.255066°		 ← 261.66 m →
68 463 m²		 N 31.052934°
E 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567378997802734 y=0.409175872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567378997802734 × 217)
    floor (0.567378997802734 × 131072)
    floor (74367.5)     		tx = 74367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409175872802734 × 217)
    floor (0.409175872802734 × 131072)
    floor (53631.5)     		ty = 53631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74367 / 53631 ti = "17/74367/53631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74367/53631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74367 ÷ 217
    74367 ÷ 131072     		x = 0.567375183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53631 ÷ 217
    53631 ÷ 131072     		y = 0.409172058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567375183105469 × 2 - 1) × π
    0.134750366210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.42333076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409172058105469 × 2 - 1) × π
    0.181655883789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.570688789976769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42333076} λ = 0.42333076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.570688789976769))-π/2
    2×atan(1.76948543561225)-π/2
    2×1.05640666692185-π/2
    2.11281333384371-1.57079632675     		φ = 0.54201701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42333076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.255066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54201701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.055287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74367 KachelY 53631 0.42333076 0.54201701 24.255066 31.055287
    Oben rechts KachelX + 1 74368 KachelY 53631 0.42337870 0.54201701 24.257813 31.055287
    Unten links KachelX 74367 KachelY + 1 53632 0.42333076 0.54197594 24.255066 31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 74368 KachelY + 1 53632 0.42337870 0.54197594 24.257813 31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54201701-0.54197594) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dl = 261.65696999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54201701-0.54197594) × R
    4.10699999999764e-05 × 6371000     		dr = 261.65696999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(0.54201701) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856669919910349 × 6371000     		do = 261.649044224491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42333076-0.42337870) × cos(0.54197594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 261.65551492873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54201701)-sin(0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856669919910349-0.856691105761415)×R²
    abs(0.42337870-0.42333076)×2.1185851065697e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1185851065697e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1185851065697e-05×40589641000000     		ar = 68463.1426771575m²