Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74366 / 77450
↖ ↑ ↗
← S 31.076461°
E 24.252319°		 ← 261.59 m → S 31.076461°
E 24.255066°		 →
↑
261.59 m
↓
↑
261.59 m
↓
S 31.078813°
E 24.252319°		 ← 261.58 m →
68 430 m²		 S 31.078813°
E 24.255066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567371368408203 y=0.590900421142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567371368408203 × 217)
    floor (0.567371368408203 × 131072)
    floor (74366.5)     		tx = 74366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590900421142578 × 217)
    floor (0.590900421142578 × 131072)
    floor (77450.5)     		ty = 77450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74366 / 77450 ti = "17/74366/77450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74366/77450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74366 ÷ 217
    74366 ÷ 131072     		x = 0.567367553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77450 ÷ 217
    77450 ÷ 131072     		y = 0.590896606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567367553710938 × 2 - 1) × π
    0.134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590896606445312 × 2 - 1) × π
    -0.181793212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.571120222073349
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42328282} λ = 0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571120222073349))-π/2
    2×atan(0.564892279325831)-π/2
    2×0.514204882989906-π/2
    1.02840976597981-1.57079632675     		φ = -0.54238656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54238656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.076461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74366 KachelY 77450 0.42328282 -0.54238656 24.252319 -31.076461
    Oben rechts KachelX + 1 74367 KachelY 77450 0.42333076 -0.54238656 24.255066 -31.076461
    Unten links KachelX 74366 KachelY + 1 77451 0.42328282 -0.54242762 24.252319 -31.078813
    Unten rechts KachelX + 1 74367 KachelY + 1 77451 0.42333076 -0.54242762 24.255066 -31.078813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54238656--0.54242762) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dl = 261.593260000237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54238656--0.54242762) × R
    4.10600000000372e-05 × 6371000     		dr = 261.593260000237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42328282-0.42333076) × cos(-0.54238656) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856479223525307 × 6371000     		do = 261.590800639671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42328282-0.42333076) × cos(-0.54242762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.856458028390994 × 6371000     		du = 261.584327100089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54238656)-sin(-0.54242762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856479223525307-0.856458028390994)×R²
    abs(0.42333076-0.42328282)×2.1195134312646e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1195134312646e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1195134312646e-05×40589641000000     		ar = 68429.5436178633m²