Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74366 / 54109
↖ ↑ ↗
← N 29.923994°
E 24.252319°		 ← 264.71 m → N 29.923994°
E 24.255066°		 →
↑
264.72 m
↓
↑
264.72 m
↓
N 29.921613°
E 24.252319°		 ← 264.72 m →
70 073 m²		 N 29.921613°
E 24.255066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567371368408203 y=0.412822723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567371368408203 × 217)
    floor (0.567371368408203 × 131072)
    floor (74366.5)     		tx = 74366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412822723388672 × 217)
    floor (0.412822723388672 × 131072)
    floor (54109.5)     		ty = 54109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74366 / 54109 ti = "17/74366/54109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74366/54109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74366 ÷ 217
    74366 ÷ 131072     		x = 0.567367553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54109 ÷ 217
    54109 ÷ 131072     		y = 0.412818908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567367553710938 × 2 - 1) × π
    0.134735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412818908691406 × 2 - 1) × π
    0.174362182617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.547774951958382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42328282} λ = 0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547774951958382))-π/2
    2×atan(1.72940073398205)-π/2
    2×1.04653427177361-π/2
    2.09306854354723-1.57079632675     		φ = 0.52227222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52227222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.923994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74366 KachelY 54109 0.42328282 0.52227222 24.252319 29.923994
    Oben rechts KachelX + 1 74367 KachelY 54109 0.42333076 0.52227222 24.255066 29.923994
    Unten links KachelX 74366 KachelY + 1 54110 0.42328282 0.52223067 24.252319 29.921613
    Unten rechts KachelX + 1 74367 KachelY + 1 54110 0.42333076 0.52223067 24.255066 29.921613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52227222-0.52223067) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dl = 264.715049999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52227222-0.52223067) × R
    4.15499999999458e-05 × 6371000     		dr = 264.715049999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42328282-0.42333076) × cos(0.52227222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.86668791939517 × 6371000     		do = 264.708799130156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42328282-0.42333076) × cos(0.52223067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866708645894851 × 6371000     		du = 264.715129536659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52227222)-sin(0.52223067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86668791939517-0.866708645894851)×R²
    abs(0.42333076-0.42328282)×2.07264996808787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07264996808787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07264996808787e-05×40589641000000     		ar = 70073.2408841442m²