Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74366 / 53572
N 31.194008°
E 24.252319°
← 261.27 m → N 31.194008°
E 24.255066°

261.27 m

261.27 m
N 31.191658°
E 24.252319°
← 261.27 m →
68 263 m²
N 31.191658°
E 24.255066°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567371368408203 y=0.408725738525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567371368408203 × 217)
    floor (0.567371368408203 × 131072)
    floor (74366.5)
    tx = 74366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408725738525391 × 217)
    floor (0.408725738525391 × 131072)
    floor (53572.5)
    ty = 53572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74366 / 53572 ti = "17/74366/53572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74366/53572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74366 ÷ 217
    74366 ÷ 131072
    x = 0.567367553710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53572 ÷ 217
    53572 ÷ 131072
    y = 0.408721923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.567367553710938 × 2 - 1) × π
    0.134735107421875 × 3.1415926535
    Λ = 0.42328282
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.408721923828125 × 2 - 1) × π
    0.18255615234375 × 3.1415926535
    Φ = 0.573517067054352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42328282} λ = 0.42328282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573517067054352))-π/2
    2×atan(1.77449711457651)-π/2
    2×1.0576172323611-π/2
    2.11523446472219-1.57079632675
    φ = 0.54443814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42328282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.252319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54443814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.194008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74366 KachelY 53572 0.42328282 0.54443814 24.252319 31.194008
    Oben rechts KachelX + 1 74367 KachelY 53572 0.42333076 0.54443814 24.255066 31.194008
    Unten links KachelX 74366 KachelY + 1 53573 0.42328282 0.54439713 24.252319 31.191658
    Unten rechts KachelX + 1 74367 KachelY + 1 53573 0.42333076 0.54439713 24.255066 31.191658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.54443814-0.54439713) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000
    dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.54443814-0.54439713) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000
    dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.42328282-0.42333076) × cos(0.54443814) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855418434177401 × 6371000
    do = 261.266808268103m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.42328282-0.42333076) × cos(0.54439713) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855439674076862 × 6371000
    du = 261.273295480113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.54443814)-sin(0.54439713))×
    abs(λ12)×abs(0.855418434177401-0.855439674076862)×
    abs(0.42333076-0.42328282)×2.12398994617891e-05×
    4.79399999999686e-05×2.12398994617891e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12398994617891e-05×40589641000000
    ar = 68263.2570448327m²