Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74364 / 54108
↖ ↑ ↗
← N 29.926374°
E 24.246826°		 ← 264.70 m → N 29.926374°
E 24.249573°		 →
↑
264.65 m
↓
↑
264.65 m
↓
N 29.923994°
E 24.246826°		 ← 264.71 m →
70 055 m²		 N 29.923994°
E 24.249573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567356109619141 y=0.412815093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567356109619141 × 217)
    floor (0.567356109619141 × 131072)
    floor (74364.5)     		tx = 74364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412815093994141 × 217)
    floor (0.412815093994141 × 131072)
    floor (54108.5)     		ty = 54108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74364 / 54108 ti = "17/74364/54108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74364/54108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74364 ÷ 217
    74364 ÷ 131072     		x = 0.567352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54108 ÷ 217
    54108 ÷ 131072     		y = 0.412811279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567352294921875 × 2 - 1) × π
    0.13470458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42318695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412811279296875 × 2 - 1) × π
    0.17437744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.547822888858002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42318695} λ = 0.42318695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.547822888858002))-π/2
    2×atan(1.72948363807851)-π/2
    2×1.04655504469117-π/2
    2.09311008938233-1.57079632675     		φ = 0.52231376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42318695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.246826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52231376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.926374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74364 KachelY 54108 0.42318695 0.52231376 24.246826 29.926374
    Oben rechts KachelX + 1 74365 KachelY 54108 0.42323489 0.52231376 24.249573 29.926374
    Unten links KachelX 74364 KachelY + 1 54109 0.42318695 0.52227222 24.246826 29.923994
    Unten rechts KachelX + 1 74365 KachelY + 1 54109 0.42323489 0.52227222 24.249573 29.923994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52231376-0.52227222) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dl = 264.651340000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52231376-0.52227222) × R
    4.15400000000066e-05 × 6371000     		dr = 264.651340000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42318695-0.42323489) × cos(0.52231376) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.866667196388104 × 6371000     		do = 264.702469790388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42318695-0.42323489) × cos(0.52227222) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.86668791939517 × 6371000     		du = 264.708799130156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52231376)-sin(0.52227222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866667196388104-0.86668791939517)×R²
    abs(0.42323489-0.42318695)×2.07230070655706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07230070655706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07230070655706e-05×40589641000000     		ar = 70054.7008754752m²