Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74363 / 77341
↖ ↑ ↗
← S 30.819705°
E 24.244079°		 ← 262.29 m → S 30.819705°
E 24.246826°		 →
↑
262.23 m
↓
↑
262.23 m
↓
S 30.822063°
E 24.244079°		 ← 262.29 m →
68 781 m²		 S 30.822063°
E 24.246826°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567348480224609 y=0.590068817138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567348480224609 × 217)
    floor (0.567348480224609 × 131072)
    floor (74363.5)     		tx = 74363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590068817138672 × 217)
    floor (0.590068817138672 × 131072)
    floor (77341.5)     		ty = 77341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74363 / 77341 ti = "17/74363/77341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74363/77341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74363 ÷ 217
    74363 ÷ 131072     		x = 0.567344665527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77341 ÷ 217
    77341 ÷ 131072     		y = 0.590065002441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567344665527344 × 2 - 1) × π
    0.134689331054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.42313901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590065002441406 × 2 - 1) × π
    -0.180130004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.565895100014763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42313901} λ = 0.42313901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565895100014763))-π/2
    2×atan(0.56785163520009)-π/2
    2×0.516445499985054-π/2
    1.03289099997011-1.57079632675     		φ = -0.53790533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42313901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.244079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53790533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.819705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74363 KachelY 77341 0.42313901 -0.53790533 24.244079 -30.819705
    Oben rechts KachelX + 1 74364 KachelY 77341 0.42318695 -0.53790533 24.246826 -30.819705
    Unten links KachelX 74363 KachelY + 1 77342 0.42313901 -0.53794649 24.244079 -30.822063
    Unten rechts KachelX + 1 74364 KachelY + 1 77342 0.42318695 -0.53794649 24.246826 -30.822063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53790533--0.53794649) × R
    4.11600000000956e-05 × 6371000     		dl = 262.230360000609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53790533--0.53794649) × R
    4.11600000000956e-05 × 6371000     		dr = 262.230360000609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42313901-0.42318695) × cos(-0.53790533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858783744155114 × 6371000     		do = 262.294660558678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42313901-0.42318695) × cos(-0.53794649) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.858762655585364 × 6371000     		du = 262.288219566656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53790533)-sin(-0.53794649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858783744155114-0.858762655585364)×R²
    abs(0.42318695-0.42313901)×2.10885697505825e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10885697505825e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10885697505825e-05×40589641000000     		ar = 68780.7787623789m²