Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74362 / 53317
↖ ↑ ↗
← N 31.791220°
E 24.241333°		 ← 259.55 m → N 31.791220°
E 24.244079°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
N 31.788886°
E 24.241333°		 ← 259.56 m →
67 368 m²		 N 31.788886°
E 24.244079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567340850830078 y=0.406780242919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567340850830078 × 217)
    floor (0.567340850830078 × 131072)
    floor (74362.5)     		tx = 74362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406780242919922 × 217)
    floor (0.406780242919922 × 131072)
    floor (53317.5)     		ty = 53317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74362 / 53317 ti = "17/74362/53317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74362/53317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74362 ÷ 217
    74362 ÷ 131072     		x = 0.567337036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53317 ÷ 217
    53317 ÷ 131072     		y = 0.406776428222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567337036132812 × 2 - 1) × π
    0.134674072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.42309108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406776428222656 × 2 - 1) × π
    0.186447143554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.585740976457466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42309108} λ = 0.42309108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585740976457466))-π/2
    2×atan(1.79632152458976)-π/2
    2×1.06282890074289-π/2
    2.12565780148579-1.57079632675     		φ = 0.55486147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42309108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.241333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55486147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.791220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74362 KachelY 53317 0.42309108 0.55486147 24.241333 31.791220
    Oben rechts KachelX + 1 74363 KachelY 53317 0.42313901 0.55486147 24.244079 31.791220
    Unten links KachelX 74362 KachelY + 1 53318 0.42309108 0.55482073 24.241333 31.788886
    Unten rechts KachelX + 1 74363 KachelY + 1 53318 0.42313901 0.55482073 24.244079 31.788886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55486147-0.55482073) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55486147-0.55482073) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42309108-0.42313901) × cos(0.55486147) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.849973429569942 × 6371000     		do = 259.549611899398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42309108-0.42313901) × cos(0.55482073) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.849994891737816 × 6371000     		du = 259.556165630548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55486147)-sin(0.55482073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849973429569942-0.849994891737816)×R²
    abs(0.42313901-0.42309108)×2.14621678742422e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.14621678742422e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.14621678742422e-05×40589641000000     		ar = 67368.1306583223m²