Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74361 / 77453
↖ ↑ ↗
← S 31.083518°
E 24.238586°		 ← 261.57 m → S 31.083518°
E 24.241333°		 →
↑
261.53 m
↓
↑
261.53 m
↓
S 31.085870°
E 24.238586°		 ← 261.56 m →
68 408 m²		 S 31.085870°
E 24.241333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567333221435547 y=0.590923309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567333221435547 × 217)
    floor (0.567333221435547 × 131072)
    floor (74361.5)     		tx = 74361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590923309326172 × 217)
    floor (0.590923309326172 × 131072)
    floor (77453.5)     		ty = 77453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74361 / 77453 ti = "17/74361/77453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74361/77453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74361 ÷ 217
    74361 ÷ 131072     		x = 0.567329406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77453 ÷ 217
    77453 ÷ 131072     		y = 0.590919494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567329406738281 × 2 - 1) × π
    0.134658813476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42304314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590919494628906 × 2 - 1) × π
    -0.181838989257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.571264032772209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42304314} λ = 0.42304314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571264032772209))-π/2
    2×atan(0.564811047613495)-π/2
    2×0.514143299838007-π/2
    1.02828659967601-1.57079632675     		φ = -0.54250973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42304314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.238586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54250973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.083518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74361 KachelY 77453 0.42304314 -0.54250973 24.238586 -31.083518
    Oben rechts KachelX + 1 74362 KachelY 77453 0.42309108 -0.54250973 24.241333 -31.083518
    Unten links KachelX 74361 KachelY + 1 77454 0.42304314 -0.54255078 24.238586 -31.085870
    Unten rechts KachelX + 1 74362 KachelY + 1 77454 0.42309108 -0.54255078 24.241333 -31.085870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54250973--0.54255078) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dl = 261.529549999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54250973--0.54255078) × R
    4.10499999999869e-05 × 6371000     		dr = 261.529549999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42304314-0.42309108) × cos(-0.54250973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856415638953506 × 6371000     		do = 261.571380275079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42304314-0.42309108) × cos(-0.54255078) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856394444651105 × 6371000     		du = 261.564906989584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54250973)-sin(-0.54255078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856415638953506-0.856394444651105)×R²
    abs(0.42309108-0.42304314)×2.11943024007732e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11943024007732e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11943024007732e-05×40589641000000     		ar = 68407.798908195m²