Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74361 / 53149
↖ ↑ ↗
← N 32.182587°
E 24.238586°		 ← 258.50 m → N 32.182587°
E 24.241333°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 32.180262°
E 24.238586°		 ← 258.51 m →
66 832 m²		 N 32.180262°
E 24.241333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567333221435547 y=0.405498504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567333221435547 × 217)
    floor (0.567333221435547 × 131072)
    floor (74361.5)     		tx = 74361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405498504638672 × 217)
    floor (0.405498504638672 × 131072)
    floor (53149.5)     		ty = 53149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74361 / 53149 ti = "17/74361/53149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74361/53149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74361 ÷ 217
    74361 ÷ 131072     		x = 0.567329406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53149 ÷ 217
    53149 ÷ 131072     		y = 0.405494689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567329406738281 × 2 - 1) × π
    0.134658813476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.42304314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405494689941406 × 2 - 1) × π
    0.189010620117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.593794375593636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42304314} λ = 0.42304314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593794375593636))-π/2
    2×atan(1.81084642772167)-π/2
    2×1.0662442114765-π/2
    2.13248842295299-1.57079632675     		φ = 0.56169210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42304314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.238586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56169210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.182587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74361 KachelY 53149 0.42304314 0.56169210 24.238586 32.182587
    Oben rechts KachelX + 1 74362 KachelY 53149 0.42309108 0.56169210 24.241333 32.182587
    Unten links KachelX 74361 KachelY + 1 53150 0.42304314 0.56165152 24.238586 32.180262
    Unten rechts KachelX + 1 74362 KachelY + 1 53150 0.42309108 0.56165152 24.241333 32.180262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56169210-0.56165152) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56169210-0.56165152) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42304314-0.42309108) × cos(0.56169210) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846355078345683 × 6371000     		do = 258.498626106618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42304314-0.42309108) × cos(0.56165152) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846376691330966 × 6371000     		du = 258.505227268642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56169210)-sin(0.56165152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846355078345683-0.846376691330966)×R²
    abs(0.42309108-0.42304314)×2.16129852834701e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16129852834701e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16129852834701e-05×40589641000000     		ar = 66831.8421557994m²