Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74360 / 54144
↖ ↑ ↗
← N 29.840644°
E 24.235840°		 ← 264.93 m → N 29.840644°
E 24.238586°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
N 29.838262°
E 24.235840°		 ← 264.94 m →
70 182 m²		 N 29.838262°
E 24.238586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567325592041016 y=0.413089752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567325592041016 × 217)
    floor (0.567325592041016 × 131072)
    floor (74360.5)     		tx = 74360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413089752197266 × 217)
    floor (0.413089752197266 × 131072)
    floor (54144.5)     		ty = 54144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74360 / 54144 ti = "17/74360/54144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74360/54144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74360 ÷ 217
    74360 ÷ 131072     		x = 0.56732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54144 ÷ 217
    54144 ÷ 131072     		y = 0.4130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56732177734375 × 2 - 1) × π
    0.1346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.42299520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4130859375 × 2 - 1) × π
    0.173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.54609716047168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42299520} λ = 0.42299520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.54609716047168))-π/2
    2×atan(1.72650159291067)-π/2
    2×1.04580690687431-π/2
    2.09161381374863-1.57079632675     		φ = 0.52081749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42299520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.235840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52081749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.840644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74360 KachelY 54144 0.42299520 0.52081749 24.235840 29.840644
    Oben rechts KachelX + 1 74361 KachelY 54144 0.42304314 0.52081749 24.238586 29.840644
    Unten links KachelX 74360 KachelY + 1 54145 0.42299520 0.52077591 24.235840 29.838262
    Unten rechts KachelX + 1 74361 KachelY + 1 54145 0.42304314 0.52077591 24.238586 29.838262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52081749-0.52077591) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dl = 264.906179999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52081749-0.52077591) × R
    4.15799999999855e-05 × 6371000     		dr = 264.906179999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42299520-0.42304314) × cos(0.52081749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867412695201626 × 6371000     		do = 264.930164317177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42299520-0.42304314) × cos(0.52077591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867433384219257 × 6371000     		du = 264.936483275697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52081749)-sin(0.52077591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867412695201626-0.867433384219257)×R²
    abs(0.42304314-0.42299520)×2.06890176304153e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06890176304153e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06890176304153e-05×40589641000000     		ar = 70182.4747717092m²