Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7436 / 10671
↖ ↑ ↗
← S 47.739324°
W 16.611328°		 ← 1 643.12 m → S 47.739324°
W 16.589355°		 →
↑
1 642.83 m
↓
↑
1 642.83 m
↓
S 47.754098°
W 16.611328°		 ← 1 642.65 m →
2 698 971 m²		 S 47.754098°
W 16.589355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453887939453125 y=0.651336669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453887939453125 × 214)
    floor (0.453887939453125 × 16384)
    floor (7436.5)     		tx = 7436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651336669921875 × 214)
    floor (0.651336669921875 × 16384)
    floor (10671.5)     		ty = 10671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7436 / 10671 ti = "14/7436/10671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7436/10671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7436 ÷ 214
    7436 ÷ 16384     		x = 0.453857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10671 ÷ 214
    10671 ÷ 16384     		y = 0.65130615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453857421875 × 2 - 1) × π
    -0.09228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28992237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65130615234375 × 2 - 1) × π
    -0.3026123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.950684593264954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28992237} λ = -0.28992237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950684593264954))-π/2
    2×atan(0.386476353760445)-π/2
    2×0.368793975741521-π/2
    0.737587951483042-1.57079632675     		φ = -0.83320838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28992237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.611328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83320838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.739324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7436 KachelY 10671 -0.28992237 -0.83320838 -16.611328 -47.739324
    Oben rechts KachelX + 1 7437 KachelY 10671 -0.28953887 -0.83320838 -16.589355 -47.739324
    Unten links KachelX 7436 KachelY + 1 10672 -0.28992237 -0.83346624 -16.611328 -47.754098
    Unten rechts KachelX + 1 7437 KachelY + 1 10672 -0.28953887 -0.83346624 -16.589355 -47.754098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83320838--0.83346624) × R
    0.000257860000000054 × 6371000     		dl = 1642.82606000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83320838--0.83346624) × R
    0.000257860000000054 × 6371000     		dr = 1642.82606000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28992237--0.28953887) × cos(-0.83320838) × R
    0.000383499999999981 × 0.67250472639858 × 6371000     		do = 1643.11633915795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28992237--0.28953887) × cos(-0.83346624) × R
    0.000383499999999981 × 0.672313863706238 × 6371000     		du = 1642.6500084453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83320838)-sin(-0.83346624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67250472639858-0.672313863706238)×R²
    abs(-0.28953887--0.28992237)×0.000190862692342031×R²
    0.000383499999999981×0.000190862692342031×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190862692342031×40589641000000     		ar = 2698971.30641207m²