Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74359 / 53591
↖ ↑ ↗
← N 31.149357°
E 24.233094°		 ← 261.34 m → N 31.149357°
E 24.235840°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
N 31.147006°
E 24.233094°		 ← 261.34 m →
68 314 m²		 N 31.147006°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567317962646484 y=0.408870697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567317962646484 × 217)
    floor (0.567317962646484 × 131072)
    floor (74359.5)     		tx = 74359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408870697021484 × 217)
    floor (0.408870697021484 × 131072)
    floor (53591.5)     		ty = 53591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74359 / 53591 ti = "17/74359/53591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74359/53591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74359 ÷ 217
    74359 ÷ 131072     		x = 0.567314147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53591 ÷ 217
    53591 ÷ 131072     		y = 0.408866882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567314147949219 × 2 - 1) × π
    0.134628295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42294727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408866882324219 × 2 - 1) × π
    0.182266235351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.572606265961571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42294727} λ = 0.42294727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.572606265961571))-π/2
    2×atan(1.77288163646671)-π/2
    2×1.0572275824786-π/2
    2.11445516495719-1.57079632675     		φ = 0.54365884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42294727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.233094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54365884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.149357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74359 KachelY 53591 0.42294727 0.54365884 24.233094 31.149357
    Oben rechts KachelX + 1 74360 KachelY 53591 0.42299520 0.54365884 24.235840 31.149357
    Unten links KachelX 74359 KachelY + 1 53592 0.42294727 0.54361781 24.233094 31.147006
    Unten rechts KachelX + 1 74360 KachelY + 1 53592 0.42299520 0.54361781 24.235840 31.147006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54365884-0.54361781) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54365884-0.54361781) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42294727-0.42299520) × cos(0.54365884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.855821803115405 × 6371000     		do = 261.33548311774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42294727-0.42299520) × cos(0.54361781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.855843026014397 × 6371000     		du = 261.341963785259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54365884)-sin(0.54361781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855821803115405-0.855843026014397)×R²
    abs(0.42299520-0.42294727)×2.12228989913132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12228989913132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12228989913132e-05×40589641000000     		ar = 68314.4989711335m²