Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74359 / 53443
↖ ↑ ↗
← N 31.496604°
E 24.233094°		 ← 260.37 m → N 31.496604°
E 24.235840°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
N 31.494262°
E 24.233094°		 ← 260.38 m →
67 814 m²		 N 31.494262°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567317962646484 y=0.407741546630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567317962646484 × 217)
    floor (0.567317962646484 × 131072)
    floor (74359.5)     		tx = 74359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407741546630859 × 217)
    floor (0.407741546630859 × 131072)
    floor (53443.5)     		ty = 53443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74359 / 53443 ti = "17/74359/53443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74359/53443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74359 ÷ 217
    74359 ÷ 131072     		x = 0.567314147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53443 ÷ 217
    53443 ÷ 131072     		y = 0.407737731933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567314147949219 × 2 - 1) × π
    0.134628295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42294727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407737731933594 × 2 - 1) × π
    0.184524536132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.579700927105339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42294727} λ = 0.42294727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579700927105339))-π/2
    2×atan(1.78550435493439)-π/2
    2×1.06025788293467-π/2
    2.12051576586934-1.57079632675     		φ = 0.54971944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42294727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.233094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54971944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.496604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74359 KachelY 53443 0.42294727 0.54971944 24.233094 31.496604
    Oben rechts KachelX + 1 74360 KachelY 53443 0.42299520 0.54971944 24.235840 31.496604
    Unten links KachelX 74359 KachelY + 1 53444 0.42294727 0.54967856 24.233094 31.494262
    Unten rechts KachelX + 1 74360 KachelY + 1 53444 0.42299520 0.54967856 24.235840 31.494262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54971944-0.54967856) × R
    4.08799999999099e-05 × 6371000     		dl = 260.446479999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54971944-0.54967856) × R
    4.08799999999099e-05 × 6371000     		dr = 260.446479999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42294727-0.42299520) × cos(0.54971944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.85267113363376 × 6371000     		do = 260.373388288966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42294727-0.42299520) × cos(0.54967856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.852692490596498 × 6371000     		du = 260.379909894462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54971944)-sin(0.54967856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85267113363376-0.852692490596498)×R²
    abs(0.42299520-0.42294727)×2.13569627374177e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.13569627374177e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.13569627374177e-05×40589641000000     		ar = 67814.1817395742m²