Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74359 / 53077
↖ ↑ ↗
← N 32.349803°
E 24.233094°		 ← 257.97 m → N 32.349803°
E 24.235840°		 →
↑
258.03 m
↓
↑
258.03 m
↓
N 32.347482°
E 24.233094°		 ← 257.98 m →
66 563 m²		 N 32.347482°
E 24.235840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567317962646484 y=0.404949188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567317962646484 × 217)
    floor (0.567317962646484 × 131072)
    floor (74359.5)     		tx = 74359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404949188232422 × 217)
    floor (0.404949188232422 × 131072)
    floor (53077.5)     		ty = 53077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74359 / 53077 ti = "17/74359/53077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74359/53077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74359 ÷ 217
    74359 ÷ 131072     		x = 0.567314147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53077 ÷ 217
    53077 ÷ 131072     		y = 0.404945373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567314147949219 × 2 - 1) × π
    0.134628295898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.42294727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404945373535156 × 2 - 1) × π
    0.190109252929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.59724583236628
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42294727} λ = 0.42294727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.59724583236628))-π/2
    2×atan(1.81710728421139)-π/2
    2×1.06770344671372-π/2
    2.13540689342744-1.57079632675     		φ = 0.56461057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42294727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.233094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56461057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.349803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74359 KachelY 53077 0.42294727 0.56461057 24.233094 32.349803
    Oben rechts KachelX + 1 74360 KachelY 53077 0.42299520 0.56461057 24.235840 32.349803
    Unten links KachelX 74359 KachelY + 1 53078 0.42294727 0.56457007 24.233094 32.347482
    Unten rechts KachelX + 1 74360 KachelY + 1 53078 0.42299520 0.56457007 24.235840 32.347482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56461057-0.56457007) × R
    4.04999999999989e-05 × 6371000     		dl = 258.025499999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56461057-0.56457007) × R
    4.04999999999989e-05 × 6371000     		dr = 258.025499999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42294727-0.42299520) × cos(0.56461057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844797043355965 × 6371000     		do = 257.968940097333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42294727-0.42299520) × cos(0.56457007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.844818713681245 × 6371000     		du = 257.975557391852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56461057)-sin(0.56457007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844797043355965-0.844818713681245)×R²
    abs(0.42299520-0.42294727)×2.16703252797767e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.16703252797767e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.16703252797767e-05×40589641000000     		ar = 66563.4184776101m²