Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74358 / 77077
↖ ↑ ↗
← S 30.194992°
E 24.230347°		 ← 263.99 m → S 30.194992°
E 24.233094°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
S 30.197366°
E 24.230347°		 ← 263.98 m →
69 678 m²		 S 30.197366°
E 24.233094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567310333251953 y=0.588054656982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567310333251953 × 217)
    floor (0.567310333251953 × 131072)
    floor (74358.5)     		tx = 74358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588054656982422 × 217)
    floor (0.588054656982422 × 131072)
    floor (77077.5)     		ty = 77077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74358 / 77077 ti = "17/74358/77077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74358/77077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74358 ÷ 217
    74358 ÷ 131072     		x = 0.567306518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77077 ÷ 217
    77077 ÷ 131072     		y = 0.588050842285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567306518554688 × 2 - 1) × π
    0.134613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42289933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588050842285156 × 2 - 1) × π
    -0.176101684570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.553239758515068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42289933} λ = 0.42289933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553239758515068))-π/2
    2×atan(0.575083656895129)-π/2
    2×0.521897147918416-π/2
    1.04379429583683-1.57079632675     		φ = -0.52700203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42289933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.230347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52700203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.194992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74358 KachelY 77077 0.42289933 -0.52700203 24.230347 -30.194992
    Oben rechts KachelX + 1 74359 KachelY 77077 0.42294727 -0.52700203 24.233094 -30.194992
    Unten links KachelX 74358 KachelY + 1 77078 0.42289933 -0.52704346 24.230347 -30.197366
    Unten rechts KachelX + 1 74359 KachelY + 1 77078 0.42294727 -0.52704346 24.233094 -30.197366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52700203--0.52704346) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52700203--0.52704346) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(-0.52700203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864318764659213 × 6371000     		do = 263.985198291753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(-0.52704346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.864297926930802 × 6371000     		du = 263.978833913133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52700203)-sin(-0.52704346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864318764659213-0.864297926930802)×R²
    abs(0.42294727-0.42289933)×2.08377284106609e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08377284106609e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08377284106609e-05×40589641000000     		ar = 69678.1930705493m²