Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74358 / 53958
↖ ↑ ↗
← N 30.282788°
E 24.230347°		 ← 263.75 m → N 30.282788°
E 24.233094°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
N 30.280416°
E 24.230347°		 ← 263.76 m →
69 567 m²		 N 30.280416°
E 24.233094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567310333251953 y=0.411670684814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567310333251953 × 217)
    floor (0.567310333251953 × 131072)
    floor (74358.5)     		tx = 74358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411670684814453 × 217)
    floor (0.411670684814453 × 131072)
    floor (53958.5)     		ty = 53958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74358 / 53958 ti = "17/74358/53958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74358/53958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74358 ÷ 217
    74358 ÷ 131072     		x = 0.567306518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53958 ÷ 217
    53958 ÷ 131072     		y = 0.411666870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567306518554688 × 2 - 1) × π
    0.134613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42289933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.411666870117188 × 2 - 1) × π
    0.176666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.55501342380101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42289933} λ = 0.42289933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.55501342380101))-π/2
    2×atan(1.74196436840017)-π/2
    2×1.04966534288942-π/2
    2.09933068577883-1.57079632675     		φ = 0.52853436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42289933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.230347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52853436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.282788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74358 KachelY 53958 0.42289933 0.52853436 24.230347 30.282788
    Oben rechts KachelX + 1 74359 KachelY 53958 0.42294727 0.52853436 24.233094 30.282788
    Unten links KachelX 74358 KachelY + 1 53959 0.42289933 0.52849296 24.230347 30.280416
    Unten rechts KachelX + 1 74359 KachelY + 1 53959 0.42294727 0.52849296 24.233094 30.280416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52853436-0.52849296) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52853436-0.52849296) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(0.52853436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863547073437668 × 6371000     		do = 263.749503929361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(0.52849296) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863567949402513 × 6371000     		du = 263.755879986372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52853436)-sin(0.52849296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863547073437668-0.863567949402513)×R²
    abs(0.42294727-0.42289933)×2.08759648446799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.08759648446799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.08759648446799e-05×40589641000000     		ar = 69567.2517890935m²