Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74358 / 53448
↖ ↑ ↗
← N 31.484893°
E 24.230347°		 ← 260.46 m → N 31.484893°
E 24.233094°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
N 31.482551°
E 24.230347°		 ← 260.47 m →
67 837 m²		 N 31.482551°
E 24.233094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567310333251953 y=0.407779693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567310333251953 × 217)
    floor (0.567310333251953 × 131072)
    floor (74358.5)     		tx = 74358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407779693603516 × 217)
    floor (0.407779693603516 × 131072)
    floor (53448.5)     		ty = 53448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74358 / 53448 ti = "17/74358/53448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74358/53448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74358 ÷ 217
    74358 ÷ 131072     		x = 0.567306518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53448 ÷ 217
    53448 ÷ 131072     		y = 0.40777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567306518554688 × 2 - 1) × π
    0.134613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42289933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40777587890625 × 2 - 1) × π
    0.1844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.579461242607239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42289933} λ = 0.42289933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579461242607239))-π/2
    2×atan(1.78507644850254)-π/2
    2×1.0601556905107-π/2
    2.12031138102139-1.57079632675     		φ = 0.54951505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42289933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.230347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54951505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.484893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74358 KachelY 53448 0.42289933 0.54951505 24.230347 31.484893
    Oben rechts KachelX + 1 74359 KachelY 53448 0.42294727 0.54951505 24.233094 31.484893
    Unten links KachelX 74358 KachelY + 1 53449 0.42289933 0.54947417 24.230347 31.482551
    Unten rechts KachelX + 1 74359 KachelY + 1 53449 0.42294727 0.54947417 24.233094 31.482551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54951505-0.54947417) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54951505-0.54947417) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(0.54951505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852777898974375 × 6371000     		do = 260.460320849723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(0.54947417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852799248812115 × 6371000     		du = 260.466841639713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54951505)-sin(0.54947417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852777898974375-0.852799248812115)×R²
    abs(0.42294727-0.42289933)×2.13498377399368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13498377399368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13498377399368e-05×40589641000000     		ar = 67836.8229128279m²