Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74358 / 53446
↖ ↑ ↗
← N 31.489578°
E 24.230347°		 ← 260.45 m → N 31.489578°
E 24.233094°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
N 31.487235°
E 24.230347°		 ← 260.45 m →
67 833 m²		 N 31.487235°
E 24.233094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567310333251953 y=0.407764434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567310333251953 × 217)
    floor (0.567310333251953 × 131072)
    floor (74358.5)     		tx = 74358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407764434814453 × 217)
    floor (0.407764434814453 × 131072)
    floor (53446.5)     		ty = 53446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74358 / 53446 ti = "17/74358/53446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74358/53446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74358 ÷ 217
    74358 ÷ 131072     		x = 0.567306518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53446 ÷ 217
    53446 ÷ 131072     		y = 0.407760620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567306518554688 × 2 - 1) × π
    0.134613037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.42289933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407760620117188 × 2 - 1) × π
    0.184478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.579557116406479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42289933} λ = 0.42289933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579557116406479))-π/2
    2×atan(1.78524759876788)-π/2
    2×1.06019656901564-π/2
    2.12039313803127-1.57079632675     		φ = 0.54959681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42289933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.230347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54959681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.489578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74358 KachelY 53446 0.42289933 0.54959681 24.230347 31.489578
    Oben rechts KachelX + 1 74359 KachelY 53446 0.42294727 0.54959681 24.233094 31.489578
    Unten links KachelX 74358 KachelY + 1 53447 0.42289933 0.54955593 24.230347 31.487235
    Unten rechts KachelX + 1 74359 KachelY + 1 53447 0.42294727 0.54955593 24.233094 31.487235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54959681-0.54955593) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54959681-0.54955593) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(0.54959681) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852735195023509 × 6371000     		do = 260.447277963929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42289933-0.42294727) × cos(0.54955593) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.852756547711494 × 6371000     		du = 260.453799624458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54959681)-sin(0.54955593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852735195023509-0.852756547711494)×R²
    abs(0.42294727-0.42289933)×2.13526879854209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.13526879854209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.13526879854209e-05×40589641000000     		ar = 67833.4260524681m²