Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74357 / 53447
↖ ↑ ↗
← N 31.487235°
E 24.227600°		 ← 260.45 m → N 31.487235°
E 24.230347°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
N 31.484893°
E 24.227600°		 ← 260.46 m →
67 835 m²		 N 31.484893°
E 24.230347°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567302703857422 y=0.407772064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567302703857422 × 217)
    floor (0.567302703857422 × 131072)
    floor (74357.5)     		tx = 74357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407772064208984 × 217)
    floor (0.407772064208984 × 131072)
    floor (53447.5)     		ty = 53447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74357 / 53447 ti = "17/74357/53447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74357/53447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74357 ÷ 217
    74357 ÷ 131072     		x = 0.567298889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53447 ÷ 217
    53447 ÷ 131072     		y = 0.407768249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567298889160156 × 2 - 1) × π
    0.134597778320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.42285139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407768249511719 × 2 - 1) × π
    0.184463500976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.579509179506859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42285139} λ = 0.42285139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579509179506859))-π/2
    2×atan(1.78516202158411)-π/2
    2×1.06017613001904-π/2
    2.12035226003809-1.57079632675     		φ = 0.54955593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42285139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.227600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54955593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.487235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74357 KachelY 53447 0.42285139 0.54955593 24.227600 31.487235
    Oben rechts KachelX + 1 74358 KachelY 53447 0.42289933 0.54955593 24.230347 31.487235
    Unten links KachelX 74357 KachelY + 1 53448 0.42285139 0.54951505 24.227600 31.484893
    Unten rechts KachelX + 1 74358 KachelY + 1 53448 0.42289933 0.54951505 24.230347 31.484893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54955593-0.54951505) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54955593-0.54951505) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42285139-0.42289933) × cos(0.54955593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852756547711494 × 6371000     		do = 260.453799624759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42285139-0.42289933) × cos(0.54951505) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.852777898974375 × 6371000     		du = 260.460320850024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54955593)-sin(0.54951505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852756547711494-0.852777898974375)×R²
    abs(0.42289933-0.42285139)×2.13512628804979e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13512628804979e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13512628804979e-05×40589641000000     		ar = 67835.1245396517m²