Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74356 / 77020
↖ ↑ ↗
← S 30.059586°
E 24.224853°		 ← 264.35 m → S 30.059586°
E 24.227600°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
S 30.061963°
E 24.224853°		 ← 264.34 m →
69 875 m²		 S 30.061963°
E 24.227600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567295074462891 y=0.587619781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567295074462891 × 217)
    floor (0.567295074462891 × 131072)
    floor (74356.5)     		tx = 74356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587619781494141 × 217)
    floor (0.587619781494141 × 131072)
    floor (77020.5)     		ty = 77020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74356 / 77020 ti = "17/74356/77020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74356/77020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74356 ÷ 217
    74356 ÷ 131072     		x = 0.567291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77020 ÷ 217
    77020 ÷ 131072     		y = 0.587615966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567291259765625 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.17523193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.550507355236725
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42280345} λ = 0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550507355236725))-π/2
    2×atan(0.57665716611644)-π/2
    2×0.523078792281602-π/2
    1.0461575845632-1.57079632675     		φ = -0.52463874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52463874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.059586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74356 KachelY 77020 0.42280345 -0.52463874 24.224853 -30.059586
    Oben rechts KachelX + 1 74357 KachelY 77020 0.42285139 -0.52463874 24.227600 -30.059586
    Unten links KachelX 74356 KachelY + 1 77021 0.42280345 -0.52468023 24.224853 -30.061963
    Unten rechts KachelX + 1 74357 KachelY + 1 77021 0.42285139 -0.52468023 24.227600 -30.061963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52463874--0.52468023) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dl = 264.332789999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52463874--0.52468023) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dr = 264.332789999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(-0.52463874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865504953362883 × 6371000     		do = 264.347490854351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(-0.52468023) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865484170261794 × 6371000     		du = 264.341143160321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52463874)-sin(-0.52468023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865504953362883-0.865484170261794)×R²
    abs(0.42285139-0.42280345)×2.07831010886617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07831010886617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07831010886617e-05×40589641000000     		ar = 69874.8708451257m²