Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74356 / 54159
↖ ↑ ↗
← N 29.804901°
E 24.224853°		 ← 265.02 m → N 29.804901°
E 24.227600°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
N 29.802518°
E 24.224853°		 ← 265.03 m →
70 241 m²		 N 29.802518°
E 24.227600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567295074462891 y=0.413204193115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567295074462891 × 217)
    floor (0.567295074462891 × 131072)
    floor (74356.5)     		tx = 74356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413204193115234 × 217)
    floor (0.413204193115234 × 131072)
    floor (54159.5)     		ty = 54159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74356 / 54159 ti = "17/74356/54159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74356/54159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74356 ÷ 217
    74356 ÷ 131072     		x = 0.567291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54159 ÷ 217
    54159 ÷ 131072     		y = 0.413200378417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567291259765625 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413200378417969 × 2 - 1) × π
    0.173599243164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.545378106977379
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42280345} λ = 0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545378106977379))-π/2
    2×atan(1.72526059213382)-π/2
    2×1.04549499303222-π/2
    2.09098998606445-1.57079632675     		φ = 0.52019366
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52019366 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.804901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74356 KachelY 54159 0.42280345 0.52019366 24.224853 29.804901
    Oben rechts KachelX + 1 74357 KachelY 54159 0.42285139 0.52019366 24.227600 29.804901
    Unten links KachelX 74356 KachelY + 1 54160 0.42280345 0.52015206 24.224853 29.802518
    Unten rechts KachelX + 1 74357 KachelY + 1 54160 0.42285139 0.52015206 24.227600 29.802518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52019366-0.52015206) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52019366-0.52015206) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(0.52019366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867722937597326 × 6371000     		do = 265.024920330463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(0.52015206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867743614051217 × 6371000     		du = 265.031235451694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52019366)-sin(0.52015206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867722937597326-0.867743614051217)×R²
    abs(0.42285139-0.42280345)×2.06764538909221e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06764538909221e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06764538909221e-05×40589641000000     		ar = 70241.3455946541m²