Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74356 / 54150
↖ ↑ ↗
← N 29.826348°
E 24.224853°		 ← 264.97 m → N 29.826348°
E 24.227600°		 →
↑
264.91 m
↓
↑
264.91 m
↓
N 29.823966°
E 24.224853°		 ← 264.97 m →
70 193 m²		 N 29.823966°
E 24.227600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567295074462891 y=0.413135528564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567295074462891 × 217)
    floor (0.567295074462891 × 131072)
    floor (74356.5)     		tx = 74356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413135528564453 × 217)
    floor (0.413135528564453 × 131072)
    floor (54150.5)     		ty = 54150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74356 / 54150 ti = "17/74356/54150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74356/54150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74356 ÷ 217
    74356 ÷ 131072     		x = 0.567291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54150 ÷ 217
    54150 ÷ 131072     		y = 0.413131713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567291259765625 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413131713867188 × 2 - 1) × π
    0.173736572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.545809539073959
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42280345} λ = 0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545809539073959))-π/2
    2×atan(1.72600508551585)-π/2
    2×1.04568215472261-π/2
    2.09136430944521-1.57079632675     		φ = 0.52056798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52056798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.826348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74356 KachelY 54150 0.42280345 0.52056798 24.224853 29.826348
    Oben rechts KachelX + 1 74357 KachelY 54150 0.42285139 0.52056798 24.227600 29.826348
    Unten links KachelX 74356 KachelY + 1 54151 0.42280345 0.52052640 24.224853 29.823966
    Unten rechts KachelX + 1 74357 KachelY + 1 54151 0.42285139 0.52052640 24.227600 29.823966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52056798-0.52052640) × R
    4.15800000000965e-05 × 6371000     		dl = 264.906180000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52056798-0.52052640) × R
    4.15800000000965e-05 × 6371000     		dr = 264.906180000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(0.52056798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867536821732346 × 6371000     		do = 264.968075754676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(0.52052640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.867557501750143 × 6371000     		du = 264.974391964415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52056798)-sin(0.52052640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867536821732346-0.867557501750143)×R²
    abs(0.42285139-0.42280345)×2.06800177970923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.06800177970923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.06800177970923e-05×40589641000000     		ar = 70192.5173818883m²