Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74356 / 53076
↖ ↑ ↗
← N 32.352123°
E 24.224853°		 ← 258.02 m → N 32.352123°
E 24.227600°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
N 32.349803°
E 24.224853°		 ← 258.02 m →
66 559 m²		 N 32.349803°
E 24.227600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567295074462891 y=0.404941558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567295074462891 × 217)
    floor (0.567295074462891 × 131072)
    floor (74356.5)     		tx = 74356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404941558837891 × 217)
    floor (0.404941558837891 × 131072)
    floor (53076.5)     		ty = 53076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74356 / 53076 ti = "17/74356/53076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74356/53076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74356 ÷ 217
    74356 ÷ 131072     		x = 0.567291259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53076 ÷ 217
    53076 ÷ 131072     		y = 0.404937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567291259765625 × 2 - 1) × π
    0.13458251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42280345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404937744140625 × 2 - 1) × π
    0.19012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.5972937692659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42280345} λ = 0.42280345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5972937692659))-π/2
    2×atan(1.81719439278871)-π/2
    2×1.0677236949296-π/2
    2.1354473898592-1.57079632675     		φ = 0.56465106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42280345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.224853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56465106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.352123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74356 KachelY 53076 0.42280345 0.56465106 24.224853 32.352123
    Oben rechts KachelX + 1 74357 KachelY 53076 0.42285139 0.56465106 24.227600 32.352123
    Unten links KachelX 74356 KachelY + 1 53077 0.42280345 0.56461057 24.224853 32.349803
    Unten rechts KachelX + 1 74357 KachelY + 1 53077 0.42285139 0.56461057 24.227600 32.349803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56465106-0.56461057) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dl = 257.961789999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56465106-0.56461057) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dr = 257.961789999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(0.56465106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.844775376996218 × 6371000     		do = 258.016144652679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42280345-0.42285139) × cos(0.56461057) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.844797043355965 × 6371000     		du = 258.022762116638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56465106)-sin(0.56461057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844775376996218-0.844797043355965)×R²
    abs(0.42285139-0.42280345)×2.16663597473188e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16663597473188e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16663597473188e-05×40589641000000     		ar = 66559.1600588565m²