Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74355 / 55950
↖ ↑ ↗
← N 25.448235°
E 24.222107°		 ← 275.73 m → N 25.448235°
E 24.224853°		 →
↑
275.80 m
↓
↑
275.80 m
↓
N 25.445755°
E 24.222107°		 ← 275.74 m →
76 048 m²		 N 25.445755°
E 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567287445068359 y=0.426868438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567287445068359 × 217)
    floor (0.567287445068359 × 131072)
    floor (74355.5)     		tx = 74355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426868438720703 × 217)
    floor (0.426868438720703 × 131072)
    floor (55950.5)     		ty = 55950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74355 / 55950 ti = "17/74355/55950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74355/55950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74355 ÷ 217
    74355 ÷ 131072     		x = 0.567283630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55950 ÷ 217
    55950 ÷ 131072     		y = 0.426864624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567283630371094 × 2 - 1) × π
    0.134567260742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42275552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426864624023438 × 2 - 1) × π
    0.146270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.459523119757858
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42275552} λ = 0.42275552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.459523119757858))-π/2
    2×atan(1.58331875150123)-π/2
    2×1.00747590728779-π/2
    2.01495181457557-1.57079632675     		φ = 0.44415549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42275552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.222107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44415549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.448235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74355 KachelY 55950 0.42275552 0.44415549 24.222107 25.448235
    Oben rechts KachelX + 1 74356 KachelY 55950 0.42280345 0.44415549 24.224853 25.448235
    Unten links KachelX 74355 KachelY + 1 55951 0.42275552 0.44411220 24.222107 25.445755
    Unten rechts KachelX + 1 74356 KachelY + 1 55951 0.42280345 0.44411220 24.224853 25.445755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44415549-0.44411220) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dl = 275.800589999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44415549-0.44411220) × R
    4.32899999999736e-05 × 6371000     		dr = 275.800589999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42275552-0.42280345) × cos(0.44415549) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902973869467761 × 6371000     		do = 275.733933817799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42275552-0.42280345) × cos(0.44411220) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902992470138258 × 6371000     		du = 275.739613756301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44415549)-sin(0.44411220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902973869467761-0.902992470138258)×R²
    abs(0.42280345-0.42275552)×1.860067049686e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.860067049686e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.860067049686e-05×40589641000000     		ar = 76048.3649070661m²