Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74355 / 55921
↖ ↑ ↗
← N 25.520136°
E 24.222107°		 ← 275.57 m → N 25.520136°
E 24.224853°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.517657°
E 24.222107°		 ← 275.57 m →
75 950 m²		 N 25.517657°
E 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567287445068359 y=0.426647186279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567287445068359 × 217)
    floor (0.567287445068359 × 131072)
    floor (74355.5)     		tx = 74355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426647186279297 × 217)
    floor (0.426647186279297 × 131072)
    floor (55921.5)     		ty = 55921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74355 / 55921 ti = "17/74355/55921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74355/55921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74355 ÷ 217
    74355 ÷ 131072     		x = 0.567283630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55921 ÷ 217
    55921 ÷ 131072     		y = 0.426643371582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567283630371094 × 2 - 1) × π
    0.134567260742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42275552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426643371582031 × 2 - 1) × π
    0.146713256835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.46091328984684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42275552} λ = 0.42275552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.46091328984684))-π/2
    2×atan(1.58552136451953)-π/2
    2×1.0081033633319-π/2
    2.0162067266638-1.57079632675     		φ = 0.44541040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42275552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.222107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44541040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.520136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74355 KachelY 55921 0.42275552 0.44541040 24.222107 25.520136
    Oben rechts KachelX + 1 74356 KachelY 55921 0.42280345 0.44541040 24.224853 25.520136
    Unten links KachelX 74355 KachelY + 1 55922 0.42275552 0.44536714 24.222107 25.517657
    Unten rechts KachelX + 1 74356 KachelY + 1 55922 0.42280345 0.44536714 24.224853 25.517657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44541040-0.44536714) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44541040-0.44536714) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42275552-0.42280345) × cos(0.44541040) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.90243392947449 × 6371000     		do = 275.569056645376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42275552-0.42280345) × cos(0.44536714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.902452566261261 × 6371000     		du = 275.574747612417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44541040)-sin(0.44536714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90243392947449-0.902452566261261)×R²
    abs(0.42280345-0.42275552)×1.86367867704984e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86367867704984e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86367867704984e-05×40589641000000     		ar = 75950.2231486906m²