Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74355 / 54158
↖ ↑ ↗
← N 29.807284°
E 24.222107°		 ← 264.96 m → N 29.807284°
E 24.224853°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
N 29.804901°
E 24.222107°		 ← 264.97 m →
70 208 m²		 N 29.804901°
E 24.224853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567287445068359 y=0.413196563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567287445068359 × 217)
    floor (0.567287445068359 × 131072)
    floor (74355.5)     		tx = 74355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413196563720703 × 217)
    floor (0.413196563720703 × 131072)
    floor (54158.5)     		ty = 54158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74355 / 54158 ti = "17/74355/54158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74355/54158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74355 ÷ 217
    74355 ÷ 131072     		x = 0.567283630371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54158 ÷ 217
    54158 ÷ 131072     		y = 0.413192749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567283630371094 × 2 - 1) × π
    0.134567260742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.42275552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413192749023438 × 2 - 1) × π
    0.173614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.545426043876999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42275552} λ = 0.42275552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545426043876999))-π/2
    2×atan(1.72534329775995)-π/2
    2×1.04551579075813-π/2
    2.09103158151626-1.57079632675     		φ = 0.52023525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42275552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.222107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52023525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.807284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74355 KachelY 54158 0.42275552 0.52023525 24.222107 29.807284
    Oben rechts KachelX + 1 74356 KachelY 54158 0.42280345 0.52023525 24.224853 29.807284
    Unten links KachelX 74355 KachelY + 1 54159 0.42275552 0.52019366 24.222107 29.804901
    Unten rechts KachelX + 1 74356 KachelY + 1 54159 0.42280345 0.52019366 24.224853 29.804901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52023525-0.52019366) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52023525-0.52019366) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42275552-0.42280345) × cos(0.52023525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867702264612632 × 6371000     		do = 264.963324957873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42275552-0.42280345) × cos(0.52019366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.867722937597326 × 6371000     		du = 264.969637702445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52023525)-sin(0.52019366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867702264612632-0.867722937597326)×R²
    abs(0.42280345-0.42275552)×2.06729846946585e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06729846946585e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06729846946585e-05×40589641000000     		ar = 70208.1394219882m²