Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74354 / 60818
↖ ↑ ↗
← N 12.849294°
E 24.219360°		 ← 297.78 m → N 12.849294°
E 24.222107°		 →
↑
297.78 m
↓
↑
297.78 m
↓
N 12.846616°
E 24.219360°		 ← 297.78 m →
88 673 m²		 N 12.846616°
E 24.222107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567279815673828 y=0.464008331298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567279815673828 × 217)
    floor (0.567279815673828 × 131072)
    floor (74354.5)     		tx = 74354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464008331298828 × 217)
    floor (0.464008331298828 × 131072)
    floor (60818.5)     		ty = 60818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74354 / 60818 ti = "17/74354/60818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74354/60818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74354 ÷ 217
    74354 ÷ 131072     		x = 0.567276000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60818 ÷ 217
    60818 ÷ 131072     		y = 0.464004516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567276000976562 × 2 - 1) × π
    0.134552001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42270758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464004516601562 × 2 - 1) × π
    0.071990966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.226166292407425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42270758} λ = 0.42270758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226166292407425))-π/2
    2×atan(1.25378414272708)-π/2
    2×0.897529401205409-π/2
    1.79505880241082-1.57079632675     		φ = 0.22426248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42270758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.219360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22426248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.849294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74354 KachelY 60818 0.42270758 0.22426248 24.219360 12.849294
    Oben rechts KachelX + 1 74355 KachelY 60818 0.42275552 0.22426248 24.222107 12.849294
    Unten links KachelX 74354 KachelY + 1 60819 0.42270758 0.22421574 24.219360 12.846616
    Unten rechts KachelX + 1 74355 KachelY + 1 60819 0.42275552 0.22421574 24.222107 12.846616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22426248-0.22421574) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dl = 297.780539999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22426248-0.22421574) × R
    4.67399999999896e-05 × 6371000     		dr = 297.780539999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42270758-0.42275552) × cos(0.22426248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974958387345556 × 6371000     		do = 297.777386924028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42270758-0.42275552) × cos(0.22421574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.974968780666329 × 6371000     		du = 297.780561311716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22426248)-sin(0.22421574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974958387345556-0.974968780666329)×R²
    abs(0.42275552-0.42270758)×1.03933207735718e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03933207735718e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03933207735718e-05×40589641000000     		ar = 88672.7837295852m²