Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74354 / 55930
↖ ↑ ↗
← N 25.497826°
E 24.219360°		 ← 275.68 m → N 25.497826°
E 24.222107°		 →
↑
275.61 m
↓
↑
275.61 m
↓
N 25.495348°
E 24.219360°		 ← 275.68 m →
75 980 m²		 N 25.495348°
E 24.222107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.567279815673828 y=0.426715850830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.567279815673828 × 217)
    floor (0.567279815673828 × 131072)
    floor (74354.5)     		tx = 74354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.426715850830078 × 217)
    floor (0.426715850830078 × 131072)
    floor (55930.5)     		ty = 55930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74354 / 55930 ti = "17/74354/55930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74354/55930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74354 ÷ 217
    74354 ÷ 131072     		x = 0.567276000976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55930 ÷ 217
    55930 ÷ 131072     		y = 0.426712036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.567276000976562 × 2 - 1) × π
    0.134552001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.42270758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.426712036132812 × 2 - 1) × π
    0.146575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460481857750259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.42270758} λ = 0.42270758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460481857750259))-π/2
    2×atan(1.58483746725128)-π/2
    2×1.00790867576266-π/2
    2.01581735152532-1.57079632675     		φ = 0.44502102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.42270758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.219360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44502102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.497826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74354 KachelY 55930 0.42270758 0.44502102 24.219360 25.497826
    Oben rechts KachelX + 1 74355 KachelY 55930 0.42275552 0.44502102 24.222107 25.497826
    Unten links KachelX 74354 KachelY + 1 55931 0.42270758 0.44497776 24.219360 25.495348
    Unten rechts KachelX + 1 74355 KachelY + 1 55931 0.42275552 0.44497776 24.222107 25.495348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44502102-0.44497776) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dl = 275.609459999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44502102-0.44497776) × R
    4.32599999999894e-05 × 6371000     		dr = 275.609459999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.42270758-0.42275552) × cos(0.44502102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902601616972084 × 6371000     		do = 275.677766788715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.42270758-0.42275552) × cos(0.44497776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.902620238556166 × 6371000     		du = 275.683454299813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44502102)-sin(0.44497776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902601616972084-0.902620238556166)×R²
    abs(0.42275552-0.42270758)×1.86215840817239e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86215840817239e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86215840817239e-05×40589641000000     		ar = 75980.1842164596m²